Приемы быстрого счета: магия, доступная всем
Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счета жизнь невозможна. Но как тяжело иногда дается эта наука! Попробуйте быстро перемножить 65 на 23? Не получается? Рука сама тянется за мобильником с калькулятором. А, между тем, полуграмотные русские крестьяне 200 лет назад спокойно делали это, пользуясь лишь первым столбиком таблицы умножения - умножением на два. Не верите? А зря. Это - реальность.
"Компьютер" каменного века
Даже не зная чисел, люди уже пытались считать. Если нашим предкам, обитавшим в пещерах и носившим шкуры, нужно было поменяться чем-либо с соседним племенем, они поступали просто: расчищали площадку и выкладывали, например, наконечник стрелы. Рядом ложилась рыба или горсть орехов. И так до тех пор, пока не заканчивался один из обменных товаров, или глава "торговой миссии" не решал, что уже хватит. Примитивно, но по-своему очень удобно: и не запутаешься, и не обманут.
С освоением скотоводства задачи усложнились. Большое стадо нужно было как-то считать, чтобы знать, все ли козы или коровы на месте. "Счетной машиной" неграмотных, но умных пастухов стала долбленая тыква с камешками. Как только животное покидало загон, пастух клал в тыкву камешек. Вечером стадо возвращалось, и пастух вынимал по камешку с каждым входившим в загон животным. Если тыква пустела, он знал, что со стадом все в порядке. Если оставались камешки - шел искать потерю.
Когда появились цифры, дело пошло веселее. Хотя еще долго у наших предков в ходу было лишь три числительных: "один", "пара" и "много".
Можно ли считать быстрее компьютера?
Обогнать устройство, выполняющее сотни миллионов операций в секунду? Невозможно… Но тот, кто говорит так, жестоко лукавит, или просто кое-что умышленно упускает из вида. Компьютер - это лишь набор микросхем в пластике, он не считает сам по себе.
Поставим вопрос по-другому: может ли человек, считая в уме, обогнать того, кто выполняет вычисления на компьютере? И здесь ответ - да. Ведь, чтобы получить ответ от "черного чемоданчика", данные в него необходимо сначала ввести. Это будет делать человек при помощи пальцев или голосом. А все эти действия имеют ограничения по времени. Непреодолимые ограничения. Сама природа поставила их человеческому телу. Всему - кроме одного органа. Мозга!
Калькулятор умеет выполнять лишь две операции: сложение и вычитание. Умножение для него - это множественное сложение, а деление - множественное вычитание.
Наш мозг поступает по-другому.
Класс, где учился будущий король математики, Карл Гаусс, как-то получил задание: сложить все числа от 1 до 100. Карл написал на своей доске абсолютно правильный ответ, как только учитель закончил объяснять задание. Он не стал прилежно складывать числа по порядку, как поступил бы любой уважающий себя компьютер. Он применил открытую им самим формулу: 101 х 50 = 5050. И это далеко не единственный прием, ускоряющий вычисления в уме.
Простейшие приемы быстрого счета
Их изучают в школе. Самое простое: если вам нужно прибавить к любому числу 9, прибавляете 10 и вычитаете 1, если 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3) и т.д.
54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Быстро и удобно.
Двухзначные числа складываются так же легко. Если во втором слагаемом последняя цифра больше пяти, число округляется до следующего десятка, а потом "лишнее" вычитается. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69. Если ключевая цифра меньше пятерки, то надо сложить сперва десятки, затем единицы: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.
С трехзначными числами точно так же не возникает никаких трудностей. Складываем их, как читаем, слева на право: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Гораздо проще, чем в столбик. И гораздо быстрее.
А вычитание? Принцип тот же: вычитаемое округляем до целого и добавляем недостающее: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 = 43 - 30 + 3 = 16. Быстрее чем на калькуляторе - и никаких претензий от учителя даже во время контрольной!
Нужно ли учить таблицу умножения?
Дети этого, как правило, терпеть не могут. И правильно делают. Ни к чему ее учить! Но не спешите возмущаться. Никто не утверждает, что таблицу не нужно знать.
Ее изобретение приписывают Пифагору, но, скорее всего, великий математик лишь придал законченную, лаконичную форму тому, что уже было известно. На раскопках древней Месопотамии археологи нашли глиняные таблички с сакраментальным: "2 х 2". Люди давно пользуются этой в высшей степени удобной системой вычислений и открыли множество способов, которые помогают постичь внутреннюю логику и красоту таблицы, понять - а не тупо, механически зазубрить.
В древнем Китае таблицу начинали учить с умножения на 9. Так проще, и не в последнюю очередь потому, что умножать на 9 можно "на пальцах".
Положите обе руки на стол ладонями вниз. Первый слева палец - 1, второй - 2 и т.д. Допустим, вам нужно решить пример 6 х 9. Поднимите шестой палец. Пальцы слева покажут десятки, справа - единицы. Ответ 54.
Пример: 8 х 7. Левая рука - первый множитель, правая - второй. На руке пять пальцев, а нам нужно 8 и 7. Загибаем на левой руке три пальца (5 + 3 = 8), на правой 2 (5 + 2 = 7). Загнутых пальцев у нас пять, значит пять десятков. Теперь перемножим оставшиеся: 2 х 3 = 6. Это единицы. Всего 56.
Это лишь один из наипростейших приемов "пальцевого" умножения Их много. "На пальцах" можно оперировать числами до 10 000!
У "пальцевой" системы есть бонус: ребенок воспринимает ее как веселую игру. Занимается охотно, испытывает массу положительных эмоций и в итоге очень скоро начинает проделывать все операции в уме, без помощи пальцев.
Делить так же можно при помощи пальцев, но это немного сложнее. Программисты до сих пор пользуются руками, чтобы перевести числа из десятичной системы в двоичную - это удобнее и гораздо быстрее, чем на компьютере. Но в рамках школьной программы научиться быстро делить можно даже без пальцев, в уме.
Допустим, нужно решить пример 91: 13. Столбик? Нет нужды пачкать бумагу. Делимое заканчивается на единицу. А делитель - на тройку. Что там в таблице умножения самое первое, где задействована тройка, а заканчивается на единицу? 3 х 7 = 21. Семерка! Вот и все, мы ее поймали. Надо 84: 14. Вспоминаем таблицу: 6 х 4 = 24. Ответ - 6. Просто? Еще бы!
Волшебство числа
Большинство приемов быстрого счета похоже на фокусы. Взять хотя бы известнейший пример умножения на 11. Чтобы, например, 32 х 11 нужно написать 3 и 2 по краям, а в середину поставить их сумму: 352.
Для умножения двузначного числа на 101 надо просто записать число два раза. 34 х 101 = 3434.
Для умножения числа на 4 нужно два раза умножить его на 2. Для деления - дважды разделить на 2.
Много остроумных и, главное, быстрых приемов помогают возводить число в степень, извлекать квадратный корень. Знаменитые "30 приемов Перельмана" для математически мыслящих людей будут покруче шоу Коперфильда, потому что они еще и ПОНИМАЮТ что происходит, и как оно происходит. Ну а остальные могут просто наслаждаться красивым фокусом. Например, нужно перемножить 45 на 37. Напишем числа на листе и разделим их вертикальной чертой. Левое число делим на 2, отбрасывая остаток, пока не получим единицу. Правое - умножаем до тех пор, пока число строчек в столбике не сравняется. Затем вычеркиваем из ПРАВОГО столбика все те числа, напротив которых в ЛЕВОМ столбике получился четный результат. Оставшиеся числа из правого столбика складываем. Получится 1665. Перемножьте числа привычным способом. Ответ сойдется.
"Зарядка" для ума
Приемы быстрого счета способны здорово облегчить жизнь и ребенку в школе, и маме в магазине или на кухне, и папе на производстве или в офисе. Но мы предпочитаем калькулятор. Почему? Не любим напрягаться. Нам тяжело держать числа, даже двухзначные, в голове. Почему-то не держатся.
Попробуйте выйти на середину комнаты и сесть на шпагат. Почему-то "не сажается", да? А гимнаст делает это совершенно спокойно, не напрягаясь. Тренироваться нужно!
Самый простой способ тренировки и, одновременно, разминки мозга: устный счет вслух (обязательно!) через число до ста и обратно. Утром, стоя под душем, или готовя завтрак, посчитайте: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Можно считать через три, через восемь - главное, делать это вслух. Всего через пару недель регулярных занятий вы удивитесь, насколько ПРОЩЕ станет обращаться с числами.
Отработка вычислительных навыков обучающихся на уроках математики с помощью приемов «быстрого» счета.
Кудинова И.К., учитель математики
МКОУ Лимановской СОШ
Панинского муниципального района
Воронежской области
«Приходилось ли тебе наблюдать, как люди с природными способностями к счёту бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они не извлекали из этого для себя никакой пользы, всё же становятся более восприимчивы, чем были раньше»
Платон
Важнейшей задачей образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий. Формирование способности и готовности учащихся реализовывать универсальные учебные действия позволяет повысить эффективность процесса обучения. Все виды универсальных учебных действий рассматриваются в контексте содержания конкретных учебных предметов.
Важную роль в формировании универсальных учебных действий играет обучение школьников навыкам рациональных вычислений. Ни у кого не вызывает сомнения, что, развитие умения рациональных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач "в уме" - важнейший элемент математической подготовки учащихся. В ажность и необходимость таких упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка.
Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Очевидно, что приемы рационального счета являются необходимым элементом вычислительной культуры в жизни каждого человека, прежде всего силу своей практической значимости, а обучающимся она необходима практически на каждом уроке.
Вычислительная культура является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин, т. к. кроме того, что вычисления активизируют память, внимание, помогают рационально организовать деятельность и существенно влияют на развитие человека.
В повседневной жизни, на учебных занятиях, когда ценится каждая минута, очень важно быстро и рационально провести устные и письменные вычисления, не допустив при этом ошибок и не используя при этом никаких дополнительных вычислительных средств.
Анализ результатов экзаменов в 9-х и 11-х классах показывает, что наибольшее количество ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисления. Нередко даже высокомотивированные учащиеся к выходу на итоговую аттестацию утрачивают навыки устного счета. Они плохо и нерационально считают, все чаще прибегая к помощи технических средств-калькуляторов. Главная задача учителя - не только сохранить вычислительные навыки, но и научить применять нестандартные приемы устного счета, которые позволили бы значительно сократить время работы над заданием.
Рассмотрим конкретные примеры различных приемов быстрых рациональных вычислений.
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
СЛОЖЕНИЕ
Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:
Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:
56+8=56+10-2=64;
65+9=65+10-1=74.
СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:
34+48=34+50-2=82;
27+31=27+30+1=58.
СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:
359+523= 300+500+50+20+9+3=882;
456+298=400+200+50+90+6+8=754.
ВЫЧИТАНИЕ
Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.
56-9=56-10+1=47;
436-87=436-100+13=349.
Умножение многозначных чисел на 9
1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого
2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10
Пример:
576 · 9 = 5184 379 · 9 = 3411
576 - (57 + 1) = 576 - 58 = 518 . 379 - (37 + 1) = 341 .
Умножение на 99
1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1
2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100
3. Приписываем дополнение к предшествующему результату
Пример:
27 · 99 = 2673 (сотен - 0) 134 · 99 = 13266
27 - 1 = 26 134 - 2 = 132 (сотня - 1 + 1)
100 - 27 = 73 66
Умножение на 999 любого числа
1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1
2. Находим дополнение до 1000
23 · 999 = 22977 (тысяч - 0 + 1 = 1)
23 - 1 = 22
1000 - 23 = 977
124 · 999 = 123876 (тысяч - 0 + 1 = 1)
124 - 1 = 123
1000 - 124 = 876
1324 · 999 = 1322676 (тысяча - 1 + 1 = 2)
1324 - 2 = 1322
1000 - 324 = 676
Умножение на 11, 22, 33, …99
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:
72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792;
35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385.
Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:
94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;
59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.
44= 4 × 11; 55 = 5×11 и т. д.
Затем произведение первых чисел умножить на 11.
48 × 22 =48 × 2 × (22: 2) = 96 × 11 =1056;
24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528;
23 ×33 = 23 × 3× 11 = 69 × 11 = 759;
18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792;
16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880;
16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056;
14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078;
12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056;
8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792.
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.
Умножение на число, оканчивающееся на 5
Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой - уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
44 × 5 = (44: 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;
28 × 15 = (28: 2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420;
32 × 25 = (32: 2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800;
26 × 35 = (26: 2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910;
36 × 45 = (36: 2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625;
34 × 55 = (34: 2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870;
18 × 65 = (18: 2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170;
12 × 75 = (12: 2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900;
14 × 85 = (14: 2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190;
12 × 95 = (12: 2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140.
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.
Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500
Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.
На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.
Например:
124 делится на 4, так как 24 делится на 4;
1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;
1800 делится на 4, так как 00 делится на 4
Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.
Примеры:
484 × 25 = (484: 4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100
124 × 25 = 124: 4 × 100 = 3100
Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.
Примеры:
12100: 25 = 12100: 100 × 4 = 484
31100: 25 = 31100:100 × 4 = 1244
Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.
Примеры:
32 × 75 = (32:4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400
48 × 75 = 48: 4 × 300 = 3600
Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.
Примеры:
2400: 75 = 2400: 300 × 4 = 32
3600: 75 = 3600: 300 × 4 = 48
Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.
Примеры:
432× 50 = 432:2 × 50 × 2 = 216 × 100 = 21600
848 × 50 = 848: 2 × 100 = 42400
Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.
Примеры:
21600: 50 = 21600: 100 × 2 = 432
42400: 50 = 42400: 100 × 2 = 848
Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.
Примеры:
428 × 500 = (428:2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000
2436 × 500 = 2436: 2 × 1000 = 1218000
Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.
Примеры:
214000: 500 = 214000: 1000 × 2 = 428
1218000: 500 = 1218000: 1000 × 2 = 2436
Прежде чем научиться умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.
Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.
Примеры:
3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;
5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;
12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8. на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.
Примеры:
632: 8, так как т.е. 64: 8;
712: 8, так как т.е. 72: 8;
304: 8, так как т.е. 32: 8;
376: 8, так как т.е. 40: 8;
208: 8, так как т.е. 24: 8.
Правило. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить
на 8.
Примеры:
32 × 125 = (32: 8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000;
72 × 125 = 72: 8 × 1000 = 9000;
4000: 125 = 4000: 1000 × 8 = 32;
9000: 125 = 9000: 1000 × 8 = 72.
Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.
Примеры:
36 × 250 = (36: 4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000;
44 × 250 = 44: 4 × 1000 = 11000.
Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.
Примеры:
9000: 250 = 9000: 1000 ×4 = 36;
11000: 250 = 11000: 1000 ×4 = 44
Умножение и деление на 37
Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.
Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Примеры:
24 × 37 = (24: 3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888;
27 × 37 = (27: 3) × 111 = 999.
Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3
Примеры:
999: 37 = 999:111 × 3 = 27;
888: 37 = 888:111 × 3 = 24.
Умножение на 111
Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.
Примеры:
24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;
36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;
17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.
Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.
Умножение двух рядом стоящих чисел
Примеры:
| 1) 12 ×13 = ? 1 × 1 = 1 1 × (2+3) = 5 2 × 3 = 6 2) 23 × 24 = ? 2 × 2 = 4 2 × (3+4) = 14 3 × 4 = 12 3) 32 × 33 = ? 3 × 3 = 9 3 × (2+3) = 15 2 × 3 = 6 1056 4) 75 × 76 = ? 7 × 7 = 49 7 × (5+6) = 77 5 × 6 = 30 5700 | Проверка: × 12 Проверка: × 23 Проверка: × 32 1056 Проверка: × 75 525_ 5700 |
Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)
Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
Пример:
24 × 26 = (24 - 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624.
Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.
18 × 12 = 2 × 1 сот. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;
16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224;
23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621;
34 × 36 = 3 × 4 сот. + 4 × 6 = 1224;
71 × 79 = 7 × 8 сот. + 1 × 9 = 5609;
82 × 88 = 8 × 9 сот. + 2 × 8 = 7216.
Можно решать устно и более сложные примеры:
108 × 102 = 10 × 11 сот. + 8 × 2 = 11016;
204 × 206 = 20 × 21 сот. +4 × 6 = 42024;
802 × 808 = 80 × 81 сот. +2 × 8 = 648016.
Проверка:
× 802
6416
6416__
648016
Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.
Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.
Примеры:
72 × 32 = (7 × 3 + 2)сот. + 2 × 2 = 2304;
64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816;
53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809;
18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764;
24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;
63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;
35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625.
Умножение чисел, оканчивающихся на 1
Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.
Примеры:
| 1) 81 × 31 = ? 8 × 3 = 24 8 + 3 = 11 1 × 1 = 1 2511 81 × 31 = 2511 | 2) 21 × 31 = ? 2 × 3 = 6 2 +3 = 5 1 × 1 = 1 21 × 31 = 651 | 3) 91 × 71 = ? 9 × 7 = 63 9 + 7 = 16 1 × 1 = 1 6461 91 × 71 = 6461 |
Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных - на 1001
Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.
648 1001 = 648648;
999 1001 = 999999.
Приемы устных рациональных вычислений, используемые на уроках математики, способствуют повышению общего уровня математического развития; развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных задач, расчетов и вычислений; содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение.
Помимо этого, рациональный счет на уроках математики играет немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка. Формируя навыки устных рациональных вычислений, учитель тем самым воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание поиска рациональных путей решения задачи. Иными словами формируются познавательные, включая логические, познавательные и знаково-символические универсальные учебные действия.
Цели и задачи школы кардинально меняются, осуществляется переход от знаниевой парадигмы к лично-ориентированному обучению. Потому важно не просто учить решать задачи по математике, а показывать действие основных математических законов в жизни, объяснять, как может учащийся применить полученные знания. И тогда у детей появится главное: желание и смысл учиться.
Список литературы
Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982.
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.
Совайленко ВК. Система обучения математике в 5-6 классах. Из опыта работы.- М.:Просвещение, 1991.
Катлер Э. Мак-Шейн Р. «Система быстрого счёта по Трахтенбергу» - М. Просвещение, 1967.
Минаева С.С. «Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике.» - М.: Просвещение, 1983.
Сорокин А.С. «Техника счета (методы рациональных вычислений)», М, Знани», 1976
http://razvivajka.ru/ Тренировка устного счета
http://gzomrepus.ru/exercises/production/ Упражнения на продуктивность и быстрый устный счет
bart в Простая математика или как научиться быстро считать в уме.Уже не представляете свою жизнь без калькулятора? Очень зря, ученые доказали, что люди, регулярно считающие в уме застрахованы от старческого маразма и раннего слабоумия. Так что практикуйтесь почаще, а я расскажу вам несколько простых приемов легкого и быстрого счета в уме.
1. Умножаем на 11
Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11?
Допустим, нам нужно умножить 63 на 11. Возьмите двузначное число, которое нужно умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место:
6_3
Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место:
6_(6+3)_3
И наш результат умножения готов:
63*11=693
Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставляйте только вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавляйте единицу:
79*11=
7_(7+9)_9
(7+1)_6_9
79*11=869
2. Быстрое возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Если вам нужно возвести в кадрат двузначное число, заканчивающееся на 5, то вы можете сделать это очень просто в уме. Умножьте первую цифру числа на саму себя плюс единица и добавьте в конце 25, и это всё:
45*45=4*(4+1)_25=2025
3. Умножение на 5
Для большинства людей умножение на 5 не составляет труда для небольших чисел, но как быстро считать в уме большие числа, умноженные на 5?
Вам нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то добавьте к нему 0 в конце, если нет, отбросьте остаток и добавьте 5 в конце:
1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число)
4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с остатком)
4. Умножение на 4
Это очень простая и, с первого взгляда, очевидная фишка умножения любого числа на 4, но насмотря на это люди не догадываются о ней в нужный момент. Чтобы просто умножить любое число на 4, нужно уножить его на 2, а потом снова умножить на 2:
67*4=67*2*2=134*2=268
5. Вычислить 15%
Если вам нужно в уме вычислить 15% от какого-либо числа, то есть простой способ, как это сделать. Возьмите 10% от числа (разделив число на 10) и добавьте к этому числу половину от полученных 10%.
15% от 884 рублей=(10% от 884 рублей)+((10% от 884 рублей)/2)=88.4 рубля + 44.2 рубля = 132.6 рублей
6. Умножение больших чисел
Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшя четно число в два раза, а второе увеличивая в два раза:
32*125 это
16*250 это
8*500 это
4*1000=4000
7. Деление на 5
Разделить большое число на 5 в голове очень просто. Всё что нужно, это умножить число на 2 и сместить запятую на один знак назад:
175/5
Умножаем на 2: 175*2=350
Смещаем на один знак: 35.0 или 35
1244/5
Умножаем на 2: 1244*2=2488
Смещаем на один знак: 248.8
8. Вычитание из 1000
Чтобы вычесть большое число из тысячи, следуйте простой технике, отнимайте все цифры числа от 9, кроме последней, а последнее цифру числа отнимите от 10:
1000-489=(9-4)_(9-8)_(10-9)=511
Разумеется, чтобы научиться быстро считать в уме, нужно много раз попрактиковаться в использовании этих приемов, чтобы довести их до автоматизма, одноразовое прочтение оставит только нули в вашей голове.
Библиографическое описание: Владимиров А. И., Михайлова В. В., Шмелева С. П. Интересные способы быстрого счета // Юный ученый. 2016. №6.1. С. 15-17..03.2019).
Введение
Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.
Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.
Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.
Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.
На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11, у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.
б) чтобы хорошо учиться в школе; (16%)
в) чтобы быстро решать; (16%)
г) чтобы быть грамотным; (52%)
2. Перечислите, при изучении, каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать ?
а) математика; (80%)
б) физика; (15%)
в) химия; (5%)
г) технология;
д) музыка;
3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?
а) да, много;
б) да, несколько (85%);
в) нет, не знаю(15%).
4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?
б) нет (85%)
5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?
б) нет (8%).
Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.
А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.
1.Способы быстрого умножения
1. СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ
Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.
Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.
Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).
Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа – единицам искомого произведения.
Рис. 1. Счёт на пальцах
2. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 20
Можно очень просто умножать такие числа.
К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.
Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или
Пример 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.
Задание: Умножьте быстро 19 ∙ 13. Ответ 19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247.
3. УМНОЖЕНИЕ НА 11
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
Пример.
94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
Задание: Умножьте быстро 54 ∙ 11 (594)
Задание: Умножьте быстро 67∙ 11 (737)
4. УМНОЖЕНИЕ НА 22, 33, ..., 99
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528
Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759
Задание: Умножьте 18∙ 44
5. УМНОЖЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25, НА 125
При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:
a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2
a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8
Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85
Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150
Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675
Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000
Задание: умножьте 824∙25
Задание: умножьте 348∙50
&2. Способы быстрого деления
1. ДЕЛЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25
При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:
a:5= a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100
a:25=a ∙ 4:100
35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7
3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75
6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256
&3. Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.
Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.
Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401
Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.
Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84
Заключение
Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.
Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.
Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.
Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.
Литература:
- Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.
- Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.
- Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.
- «Первое сентября» Математика №3(15), 2007.
- Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68.
- Устный счет / Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).
- http://portfolio.1september.ru/subject.php
] От составителя
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Отв. редактор В. А. Камский . Техн. ред. А. Я. Барвиш 4-я тип. Лениздата им. Григорьева 4021
Умножение на однозначное число
§ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 × 8 ), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 × 8 = 160 ), затем единицы (7 × 8 = 56 ) и оба результата складывают.
Еще примеры:
34 × 7 = 30 × 7 + 4 × 7 = 210 + 28 = 23847 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282
§ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 × 9 :
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 |
| 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 |
| 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
| 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 |
| 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 |
| 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |
| 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 |
| 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 |
| 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 |
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147 × 8 выполнить в уме так:
147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176§ 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:
225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350 Умножение на двузначное число§ 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6 × 28 = 28 × 6 = 120 + 48 = 168§ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 348 41 × 16 = 41 × 10 + 41 × 6 = 410 + 246 = 656 (или 41 × 16 = 16 × 41 = 16 × 40 + 16 = 640 + 16 = 656 )Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
§ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 × 7 ), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
45 × 14 = 90 × 7 = 630 Умножение на 4 и на 8§ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112 × 4 = 224 × 2 = 448 335 × 4 = 670 × 2 = 1340§ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 + 17 × 8 = 1600 × 13 = 1736 ).
Деление на 4 и на 8§ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76: 4 = 38: 2 = 19 236: 4 = 118: 2 = 59§ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464: 8 = 232: 4 = 116: 2 = 58 516: 8 = 258: 4 = 129: 2 = 64 1 / 2 Умножение на 5 и на 25§ 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10 / 2 , т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
74 × 5 = 740: 2 = 370 243 × 5 = 2430: 2 = 1215При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74 × 5 = 74 / 2 × 10 = 370§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 / 4 , т. е. - если число кратно 4-х - делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
72 × 25 = 72 / 4 × 100 = 1800Если же число при делении на 4 дает остаток, то
| при | приписывают |
| остатке: | к частному |
| 1 | 25 |
| 2 | 50 |
| 3 | 75 |
Основание приема ясно из того, что
100: 4 = 25;200: 4 = 50;300: 4 = 75 Умножение на 1 1 / 2 , на 1 1 / 4 , на 2 1 / 2 , на 3 / 4§ 13. Чтобы устно умножить число на 1 1 / 2 прибавляют к множимому его половину. Например:
34 × 1 1 / 2 = 34 + 17 = 51 23 × 1 1 / 2 = 23 + 11 1 / 2 = 34 1 / 2 (или 34,5)§ 14. Чтобы устно умножить число на 1 1 / 4 , прибавляют к множимому его четверть. Например:
48 × 1 1 / 4 = 48 + 12 = 60 58 × 1 1 / 4 = 58 + 14 1 / 2 = 72 1 / 2 или (72,5)§ 15. Чтобы устно умножить число на 2 1 / 2 , к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:
18 × 2 1 / 2 = 36 + 9 = 45 39 × 2 1 / 2 = 78 + 19 1 / 2 = 97 1 / 2 (или 97,5)Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
18 × 2 1 / 2 = 90: 2 = 45§ 16. Чтобы устно умножить число на 3 / 4 (т. е. чтобы найти 3 / 4 этого числа), умножают число на 1 1 / 2 и делят пополам. Например:
30 × 3 / 4 = 30 + 15 / 2 = 22 1 / 2 (или 22,5) Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины. Умножение на 15, на 125, на 75§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1 1 / 2 (потому что 10 × 1 1 / 2 = 15 ). Например:
18 × 15 = 18 × 1 1 / 2 × 10 = 270 45 × 15 = 450 + 225 = 675§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1 1 / 4 (потому что 100 × 1 1 / 4 = 125 ). Например:
26 × 125 = 26 × 100 × 1 1 / 4 = 2600 + 650 = 3250 47 × 125 = 47 × 100 × 1 1 / 4 = 4700 + 4700 / 4 = 4700 + 1175 = 5875§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3 / 4 (потому что 100 × 3 / 4 = 75 ). Например:
18 × 75 = 18 × 100 × 3 / 4 = 1800 × 3 / 4 = 1800 + 900 / 2 = 1350 Примечание . Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6:
18 × 15 = 90 × 3 = 270 26 × 125 = 130 × 25 = 3250 Умножение на 9 и на 11§ 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
62 × 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558 73 × 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657§ 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
87 × 11 = 870 + 87 = 957 Деление на 5, на 1 1 / 2 , на 15§ 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:
68: 5 = 136 / 10 = 13,6 237: 5 = 474 / 10 = 47,4 36: 1 1 / 2 = 72: 3 = 24 53: 1 1 / 2 = 106: 3 = 35 1 / 3 240: 15 = 480: 30 = 48: 3 = 16 462: 15 = 924: 30 = 3024 / 30 = 30 4 / 5 = 30,8 (или 924: 30 = 308: 10 = 30,8 ) Возвышение в квадрат§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 × 9 = 72 ) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
25 2 ; 2 × 3 = 6; 625 45 2 ; 4 × 5 = 20; 2025 145 2 ; 14 × 15 = 210; 21025Прием этот вытекает из формулы
(10x + 5) 2 = 100x 2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
8,5 2 = 72,2514,5 2 = 210,25 0,35 2 = 0,1225 , и т. п.§27. Так как 0,5 = 1 / 2 , а 0,25 = 1 / 4 , то приемом §25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1 / 2:
(8 1 / 2) 2 = 72 1 / 4 (14 1 / 2) 2 = 210 1 / 4 и т. п.§ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ± b ) 2 = а 2 + b 2 ± 2аb . Например:
41 2 = 40 2 + 1 + 2 × 40 = 1601 + 80 = 1681 69 2 = 70 2 + 1 - 2 × 70 = 4901 - 140 = 4761 36 2 = (35 + 1) 2 = 1225 + 1 + 2 × 35 = 1296 Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.Вычисления по формуле (а + b ) (а - b ) = а 2 - b 2
§ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение
52 × 48 Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) × (50 - 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:
(50 + 2) × (50 - 2) = 50 2 - 2 2 = 2496 Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой - в виде разности тех же чисел:
69 × 71 = (70 - 1) × (70 + 1) = 4899 33 × 27 = (30 + 3) × (30 - 3) = 891 53 × 57 = (55 - 2) × (55 + 2) = 3021 84 × 86 = (85 - 1) × (85 + 1) = 7224§ 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
7 1 / 2 × 6 1 / 2 = (7 + 1 / 2) × (7 - 1 / 2) = 48 3 / 4 11 3 / 4 × 12 1 / 4 = (12 - 1 / 4) × (12 + 1 / 4) = 14315 / 16 Полезно запомнить: Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:
| 77 × 13 = 1001 | 91 × 11 = 1001 |
| 77 × 26 = 2002 | 91 × 22 = 2002 |
| 77 × 39 = 3003 | 91 × 33 = 3003 |
| и т. д. | и т. д. |
УКАЗАТЕЛЬ Умножение