Дзюрич Елена Алексеевна, учитель физики и математики
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа
с. Агафоновка Питерского района Саратовской области имени Героя Советского Союза Н.М. Решетникова»
e-mail: ,
web- сайт : elenadzjurich.ucoz.ru
20 16 год.
Аннотация
Данный урок предназначен для обучающихся 6 класса . На уроке имеют место элементы проблемного обучения и самостоятельная поисковая деятельность, которые способствуют усвоению учащимися нового материала. Методы обучения обеспечивают познавательную самостоятельность и интерес учащихся, сотрудничество учителя и учащихся.
На уроке используется необходимое техническое оборудование: доска, компьютеры с выходом в Интернет, мультимедиа проектор, экран. На всех этап ах использованы ЭОРы из Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов и Федерального центра информационно-образовательных ресурсов, которые позволяют формировать компоненты мышления, восприятия учебного материала. Урок соответствует требованиям ФГОС ООО.
План – конспект урока
Тема урока. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Законы арифметических действий.
Дзюрич Елена Алексеевна
МОУ «СОШ с. Агафоновка Питерского района Саратовской области»
Учитель физики и математики
Математика
6 класс
Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Законы арифметических действий
Математика, 6 кл., Мерзляк А.Г.
Цели:
Образовательная :
Усвоение отдельных знаний, умений и навыков по решению примеров на порядок действий, умение самостоятельно в комплексе применять ранее полученные знания, умения и навыки.
Воспитательная :
Продолжить формирование умения работать в коллективе.
Способствовать развитию любознательности и творческих способностей.
Развивающая :
Способствовать запоминанию и воспроизведению изученного материала, выработке умений выполнять задания;
Учить четко формулировать правила.
Продолжить формирования умений сравнивать, анализировать, делать выводы.
Способствовать формированию целостной картины мира.
Задачи:
создать условия для повышения интереса к изучаемому материалу;
помочь учащимся осмыслить практическую значимость, полезность приобретаемых знаний и умений.
Формирование УДД.
Личностные УУД.
· Способности к самооценке на основе критериев успешности учебной деятельности.
Средством формирования этих действий служит технология оценивания образовательных достижений (учебных успехов).
Регулятивные УУД.
· Определять и формулировать цель деятельности на уроке с помощью учителя.
· В сотрудничестве с учителем ставить новые учебные задачи.
· Преобразовывать практическую задачу в познавательную.
· Учиться высказывать своё предположение (версию) в ходе эксперимента.
· Проявлять познавательную инициативу в учебном сотрудничестве.
Средством формирования этих действий служит технология проблемного диалога на этапе изучения нового материала.
Познавательные УУД.
· Строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.
· Ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя.
· Добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.
· Перерабатывать полученную информацию: делать выводы в результате совместной работы, как в группе, так и в классе.
· Проводить сравнение, классификацию по заданным критериям.
Средством формирования этих действий служит учебный материал и эксперимент, ориентированные на развитие средствами физического объекта.
Коммуникативные УУД.
· учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве;
· формулировать собственное мнение и позицию;
· договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов; строить монологическое высказывание, владеть диалогической формой речи.
· Слушать и понимать речь других.
Средством формирования этих действий служит технология проблемного диалога (побуждающий и подводящий диалог).
Тип урока: урок изучения нового материала и формирования знаний, умений, навыков, возможности применения их на практике.
Формы работы учащихся : индивидуальная, фронтальная
Необходимое техническое оборудование: мультимедиа проектор, экран, компьютер с выходом в Интернет
Структура и ход урока
Объяснение нового материала.
2 . Подборка заданий «Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.»
Определяет ЭОР, организовывает выполнение заданий на закрепление материала
Просматривают слайды, отвечают на вопросы, делают записи в тетрадях
17 мин
Подведение итогов урока, рефлексия
Что вызвало затруднение?
Какие моменты остались непонятны?
Организует совместное обсуждение в выборе нужных ответов. Выставляет оценки.
Анализируют свою работу на уроке, обсуждают, высказывают свое мнение.
5 мин
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
Озвучивает домашнее задание.
Записывают домашнее задание в дневник
2 мин
Приложение к плану – конспекту
Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Законы арифметических действий.
( Тема урока )
Перечень используемых на данном уроке ЭОР
Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Законы арифметических действий.Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов.
Интерактивная анимация, интерактивная модель
Данный информационный модуль представляет собой анимированный ролик со звуком. Состоит из логически законченных частей, которые можно проигрывать как последовательно, так и в любом порядке по желанию учащегося. Каждая часть состоит из двух блоков: видеоряд и сопровождающий текст. Содержание данного модуля знакомит учащихся с методами решения примеров, содержащих одновременно обыкновенные и десятичные дроби, и применение при их решении законы арифметических действий (сочетательный, переместительный и распределительный).
Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов.
Интерактивная анимация
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для отработки умений и навыков учащихся выполнять совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, применяя законы арифметических действий (переместительный, сочетательный и распределительный). При решении заданий учащемуся предоставляется возможность использовать подсказки. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.
Подборка заданий
Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями
Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов.
Интерактивная модель
Данный модуль состоит из 5 заданий. Задания предназначены для контроля умения учащихся выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями, применять законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.
Домашняя работа с использованием Интернет-ресурсов
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
Информационный модуль
Данный модуль представляет собой задание повышенной сложности, состоящее из трех уровней. Для прохождения каждого уровня учащемуся необходимо два раза подряд правильно выполнить задание, при этом не использовать решение с ответом. Задание направлено на отработку умений учащихся выполнять совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Все задания данного учебного модуля параметризированы.
Приложение 1
Физкультминутка
Вы, наверное, устали? Ну, тогда все дружно встали. Вверх ладошки! Хлоп! Хлоп! По коленкам – шлёп, шлёп! По плечам теперь похлопай! По бокам себя пошлёпай! Мы осанку исправляем Спинки дружно прогибаем Вправо, влево мы нагнулись, До носочков дотянулись. Плечи вверх, назад и вниз. Улыбайся и садись.
Совместные действия
с обыкновенными
и десятичными дробями
(урок – путешествие для 6 класса)
Тема урока:
Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Тип урока:
1)по основной дидактической цели – урок применения знаний и умений,
2)по основному способу проведения – практическая работа.
Цели урока:
формировать умения и навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями;
развивать познавательную активность учащихся;
формировать навыки общения.
Методы обучения:
1)практический метод (упражнения, карточки с заданиями);
2)наглядный метод (схемы, иллюстрации);
3)словесный метод (разъяснение).
Средства обучения: плакаты, схемы, доска, мел.
Оборудование:
карточки с заданиями, сигнальные карточки, 5 рыб, вырезанных из бумаги, удочка, магнит, скрепки, магнитофон, компьютер.
Форма обучения:
фронтальная, индивидуальная.
Ход урока.
Сегодня урок будет необычным. Мы совершим увлекательное путешествие в поисках сокровищ. Но сначала надо проверить, готовы ли мы отправиться в путь, хорошо ли мы вооружились знаниями?
Задание №1 (устно).
1) Прочитайте дроби:
1,2; ; ; 0,04; 1; 1,875; .
Укажите среди них обыкновенные и десятичные дроби.
2) Обратите данные обыкновенные дроби в десятичные, а десятичные – в обыкновенные:
0,1; 1,6; ; ; 1 ; 5.
3) Сравните числа:
и 0,4; - и 0,2; 2 и 2,25.
4)Назовите числа, обратные и противоположные данным:
; ; 1 ; 0,3; 12; 1,05.
Чему равна сумма противоположных чисел?
Чему равно произведение взаимно обратных чисел?
5) Сравните с единицей сумму дробей:
+
+
;
+0,2+
Задание №2 (выполняется устно в форме математического лото).
Выполните действия:
-
+ 0,5; - 1-
; -2: (-0,2); 3 - 0,5; 0,4 2 ; -
: 0,2.
(В результате выполнения задания постепенно складывается карта путешествия).
Рисунок 1
Итак, карта у нас есть, настроение отличное. В путь! С песней!
(Звучат строки из песни «Ничего на свете лучше нету»:
Ничего на свете лучше нету,
Чем бродить друзьям по белу свету.
Тем, кто дружен, не страшны тревоги,
Нам любые дороги дороги.
Нам любые дороги дороги.).
Прежде всего, мы очутились на поляне цветов. Но их красота обманчива. Среди них есть ядовитые и целебные. Наша задача – не ошибиться, когда будем собирать букет.
Рисунок 2
(На плакате нарисованы цветы, их сердцевины пронумерованы, а на лепестках написаны дроби.)
Задание №3 (выполняется в тетрадях).
Перемножьте дроби, написанные на лепестках, и сверьте с дробью, записанной на листочке. Если ответы совпадут, то цветок целебный, если нет – ядовитый.
(Дети дают ответы при помощи сигнальных карточек. Если цветок ядовитый, то поднимают красную карточку, если целебный – зеленую.)
После цветочной поляны мы попали на перепутье. По какой дороге идти? Об этом узнаем, если выполним задания.
Задание №4 (каждый ряд выполняет по 1 заданию в тетрадях, трое учеников работают у доски).
Выполните действия. Ответ запишите в виде десятичной дроби и округлите до единиц. (Задания записаны на доске)
1. ((- 4
· (- 0,6) : (
+ 3,5))
3
-
)
2
2. ((2,5
·
:
(0,2 +
))
2
+ (-7
))
2
3. ((1,8 · : (-0,2 + (- ))) 3 + 26,8) 2
Ноль в ответе означает тупик, поэтому дороги №2 и №3 не приведут нас к цели, значит, надо идти по дороге №1. По карте видно, что мы подошли к озеру. Наловим рыбки для ухи.
(Дети удят рыбу, по номеру которой определяется, какое задание открывать для решения)
Задание №5 (задания проецируются на доску с помощью компьютера):
1)На какое число надо разделить 2, чтобы получить 4?
2)Меньше или больше половины литровой банки наполнится водой, если в нее влить л; 0,7 л; л?
3)Вычислите
5
:3 + 0,83 2,16 + 7
0,5 -
4)Найдите сумму четырех десятых числа 40 и двух третей числа 36.
Поудив рыбу и сварив воображаемую уху, мы подходим к мельнице, которая перемалывает все числа, начиная с середины (это число 4,5). Пойдем и мы вслед за стрелками, выполняя то действие, которое записано на стрелке. Получив ответ, двигаемся дальше.
Задание №6 (выполняется по цепочке по3 человека от каждого ряда).
Рисунок 3
Молодцы! Справились и с этим заданием. Пойдемте дальше. (Учитель включает магнитофон, раздаются звуки сильного ветра и потоков дождя) Но что это? Какой сильный ветер! Дождь! Укроемся в пещере. Сколько мы можем продержаться в пещере? Ответ на этот вопрос мы найдем, решив задачу про пещеру, воду и … проценты.
Задание №7 (коллективное решение с записью на доске).
В пещере обнаружено 750 л пресной воды. На сколько дней хватит этого запаса для 30 человек, если один человек в день расходует 0,2% от всего количества воды?
Ну, вот и буря кончилась. Мы выходим из пещеры на лесную поляну. Здесь отдохнем. Можно расслабиться, пошутить.
Задание №8 (задачи-шутки).
1)Одновременно написать на доске число 7,2 левой рукой и число 2,7 – правой.
2)С завязанными глазами записать и выполнить пример на сложение двух десятичных дробей, двух обыкновенных дробей, обыкновенной и десятичной дробей.
Задание №8 (угадать слова, в которых известны только первая и последняя буквы):
д---ь, в-------е, с------е.
Ура! Дракон повержен! Можно взять клад!
(Учитель из тайника достает шкатулку и медленно ее открывает. Дети видят в ней множество золотых монет. На самом деле – это просто маленькие круглые шоколадки в золотой фольге.)
Подведем итоги нашего путешествия и отметим самых смелы и удачливых путешественников (учащимся выставляются отметки).
Рисунок 1
Рисунок 2
Цели урока: Непринужденно и ненавязчиво повторить выполнение совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, так как эта тема достаточно сложна и необходима на каждом шагу и на всю жизнь. Непринужденно и ненавязчиво повторить выполнение совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями, так как эта тема достаточно сложна и необходима на каждом шагу и на всю жизнь. Развивать ум, логическое мышление, память, математическую речь и кругозор учащихся. Развивать ум, логическое мышление, память, математическую речь и кругозор учащихся. Воспитывать трудолюбие, аккуратность, внимательность, ответственность, терпеливость, целеустремленность и чувство долга Воспитывать трудолюбие, аккуратность, внимательность, ответственность, терпеливость, целеустремленность и чувство долга
Тип урока: Урок обобщения и систематизации полученных знаний Урок обобщения и систематизации полученных знаний Вид урока: Вид урока: Урок – игра Урок – игра Форма урока: Урок – путешествие Урок – путешествие Девиз урока: Кто ищет – тот всегда найдет Кто ищет – тот всегда найдет
1)Поляна цветов. Прежде всего, мы очутились на поляне цветов, но их красота обманчива: среди них есть ядовитые и целебные. Наша задача не ошибиться, когда будем собирать букет. На поляне мы видим 3 цветка. Их сердцевины пронумерованы, а на лепестках написаны дроби. Эти дроби надо перемножить и ответ сверить с дробью, записанной на листочке цветка. Если ответы совпадут, то цветок целебный, если нет – ядовитый.
4) Мельница. Поудив рыбу и сварив «отменную уху», мы подходим к мельнице. Мельница не простая, а волшебная: она перемалывает все написанные числа, начиная с середины (это число 4,5). Пойдем мы вслед за стрелками, выполняя то действие, которое записано на стрелке. Получив ответ, двигаемся дальше.
5) Пещера. Мы продолжаем путь, но тут начинается сильный дождь. Мы вымокли, ветер пронизывает, озябли. Физкультминутка. С надеждой смотрим на карту и с радостью замечаем, что можем укрыться в пещере. А погода испортилась видимо на несколько дней. Сколько же мы сможем продержаться здесь? Ответ на этот вопрос мы найдем, решив задачу про пещеру, воду и проценты.
«Как прекрасен этот мир».
Цель: непринуждённо и ненавязчиво повторить тему «Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями».
Сегодня занятие будет необычным. Мы совершим увлекательное путешествие в поисках сокровищ. Но сначала надо проверить, готовы ли мы отправиться в путь, хорошо ли мы вооружены знаниями?
Задания.
1. Прочитайте дроби:
1,2; 815; 67; 0,04; 129; 1,875; 74.
Укажите среди них - обыкновенные, десятичные.
Чем различается запись десятичных и обыкновенных дробей?
Что показывает числитель и знаменатель обыкновенной дроби?
Какая обыкновенная дробь называется правильной? Неправильной?
2. Обратите данные обыкновенные дроби в десятичные, а десятичные – в обыкновенные:
0,1; 1,6; 12; 14; 115; 5.
3. Сравните числа:
15 и 0,4;
· 15 и 0,2; 212 и 2,25.
4. Назовите числа, обратные и противоположные данным:
57; 43; 113; 0,3; 12; 1,05.
Чему равна сумма противоположных чисел?
Чему равно произведение взаимно – обратных чисел?
5. Сравните с единицей сумму дробей:
14 + 14 + 14; 110 + 0,2 + 12.
[ Устная фронтальная работа класса продолжается в ходе составления карты путешествия. Составление карты идёт так же, как игра в лото. На доске заранее укреплён большой лист ватмана, разделённый на шесть равных частей. На каждой части крупно нарисовано число(оно будет фигурировать в ответе к математическому лото). А на столе учителя лежат тыльной стороной вверх шесть квадратов таких же размеров, как и квадраты на вывешенном разграфлённом листе. На каждом квадрате с лицевой стороны нарисован участок карты, а на тыльной – одно из шести чисел, изображённых на разграфлённом листе.]
Задания.
(Математическое лото.)
Выполните действия:
· 110 + 0,5;
· 112
· 105;
· 2: (
· 0,2); 312
· 0,5;
0,4
· 212;
· 13: 0,2.
[Учащиеся выполняют задания, а затем учитель медленно и вразбивку объявляет ответы:
· 2,5; 0,1; 0.4; 10; 1;
· 3,5; 3;
· 123. Тот учащийся, кто первым заявил, что в его работе есть объявленный ответ, вызывается к доске и прикрепляет квадрат с таким же числом, как и в его ответе к тому месту на ватмане, где увидит то же число, что и на квадрате. Постепенно складывается карта (рис.1).]
Итак, карта у нас есть
· настроение отличное. В путь! С песней! (Звучат строки из песни «Ничего на свете лучше нету» 1куплет):
Ничего на свете лучше нету,
Чем бродить друзьям по белу свету,
Тем, кто дружен, не страшны тревоги,
Нам любые дороги дороги } 2 раза.
[Начиная с этого момента, у ребят перед глазами находится карта. На ней видны все этапы путешествия.]
Прежде всего, мы очутились на поляне цветов. Но их красота обманчива. Среди них есть ядовитые и целебные. Наша задача не ошибиться, когда будем собирать букет.
[ На доске мелом нарисованы цветы (рис. 2), их сердцевины пронумерованы, а на лепестках написаны дроби. Эти дроби надо перемножить и ответ сверить с дробью, записанной на листочке цветка. Если ответы совпадут, то цветок целебный, если нет – ядовитый. ] (рис. 2)
[Дети дают ответы при помощи сигнальных карточек. У каждого ученика на парте лежат красная и зелёная карточки. Если цветок ядовитый, то поднимают красную карточку, если целебный – зелёную. Вслух ничего не произносят.(Дроби подобраны так, чтобы две из трёх были взаимно обратными. Так закрепляется правило умножения взаимно обратных чисел.) Все вместе устанавливаем, что цветы 1, 3, 4 – целебные, а 2 и 5 – ядовитые.]
«После цветочной поляны мы попали на перепутье. По какой дороге идти? Об этом узнаем, если выполним задания. Их два – по одному для каждого ряда. Задания уже записаны на центральной доске. Обязательное условие: ответ записать в виде десятичной дроби и округлить до единиц».
Задания.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
·
2.
13 EMBED Equation.3 1415
[Ребята делают расчёты на своих местах, а двое учеников – у доски. Получаются ответы:
1. 0,64
· 1.
2. 0. ]
«Ноль в ответе означает тупик, которым кончается дорога с соответствующим номером на карте. Итак, дороги № 2 и № 3 не приведут нас к цели. Значит, надо идти по дороге № 1.
По карте видно, что мы подошли к озеру. Наловим рыбки на уху».
[ На доске написаны пять заданий, которые закрыты листами бумаги, чтобы заранее дети не прочитали их. На учительском столе или на первой парте разложены пять крупных рыб (рис. 3), вырезанных из бумаги.]
«На каждой рыбе проставлен номер – это номер задания. Голова рыбы унизана скрепками. Берём удочку (обычная палочка с леской). На конце лески прикреплен магнит. Магнит «цепляет» скрепки – и рыбка поймана. По её номеру становится ясно, какое задание открывать для решения».
Задания.
1. На какое число надо разделить 2, чтобы получить 4 ?
2. Меньше или больше половины литровой банки наполнится водой, если в неё влить 25 л; 0,7 л; 24 л?
3. Вычислите:
(5 16: 3 + 0,83
· 2,16 + 7 14)
· (0,5
· 12).
4. Найдите сумму четырёх десятых числа 40 и двух третей числа 36.
Поудив рыбу и сварив воображаемую уху, мы подходим к мельнице. Вблизи (рис. 4) она, конечно, значительно больше, чем на карте. Теперь мы можем рассмотреть её в подробностях. Мельница перемалывает все написанные числа, начиная с середины (это число 4,5). Пойдём и мы вслед за стрелками на рис.4, выполняя то действие, которое записано на стрелке. Получив ответ, двигаемся дальше. Например:
4,5
· 323 = 56 56 + 416 = 5 5
· 2,7 = 2,3. И т. д.
Найдя окончательный ответ, продолжаем путь. Пещера. Но чтобы спрятаться в ней надо решить задачу про пещеру, воду и проценты.
Задача.
В пещере обнаружено 750 л пресной воды. На сколько дней хватит этого запаса воды для 30 человек, если один человек в день расходует 0,2 % от всего количества воды?
[Сначала разбираем решение всем классом, а затем один ученик делает записи на доске.]
1) 0,2% = 21000 ;
2) 750: 1000
· 2 = 1,5 (л) – воды расходует один человек в день;
3) 1,5
· 30 =45 (л) – воды расходуют 30 человек в день;
4) 750: 45 = 1623 (дней) – столько дней будет расходоваться запас воды в пещере.
«Нужно ли округлить число 16 23 ? – Нужно, поскольку в задаче требуется узнать целое число дней. – Как округлять? – Если нам хватило воды на две трети дня, то, значит, этот день мы без воды не остались. Тогда ответ должен быть таким: воды хватит на 17 дней».
Мы выходим на лесную поляну. Здесь отдохнём.
Шутливое задание.
1. Одновременно написать на доске число 7,2 левой рукой, и 2,7
· правой.
2. С завязанными глазами записать и выполнить задание на сложение двух десятичных дробей, двух обыкновенных дробей, обыкновенной и десятичной.
Отдохнув, двигаемся дальше. Наконец, дошли до того места, где зарыт клад. Но путь преграждает дракон.
[ Плакат с нарисованным на нём цветным драконом (рис.5) укреплён на обратной стороне подвижной доски. Учитель открывает створку, и все видят «страшное» чудовище. Каждая голова дракона держит листок с зашифрованным словом, где известны только первая и последняя буквы. ]
Угадав все слова, ребята повергают чудовище в прах.
Можно взять клад!
Дроби бывают обыкновенные и десятичные. Когда школьник узнает о существовании последних, он начинает при каждом удобном случае переводить все, что возможно, в десятичный вид, даже если этого не требуется.
Как ни странно, у старшеклассников и студентов предпочтения меняются, потому что проще выполнять многие арифметические действия с обыкновенными дробями. Да и значения, с которыми имеют дело выпускники, преобразовать в десятичный вид без потерь порой бывает попросту невозможно. В результате оба вида дробей оказываются, так или иначе, приспособлены к делу и обладают своими преимуществами и недостатками. Посмотрим, как с ними работать.
Определение
Дроби - это те же доли. Если в апельсине десять долек, а вам дали одну, то у вас в руке 1/10 часть фрукта. При такой записи, как в предыдущем предложении, дробь будет называться обыкновенной. Если написать то же самое как 0,1 - десятичной. Оба варианта являются равноправными, однако имеют свои преимущества. Первый вариант удобнее при умножении и делении, второй - при сложении, вычитании и в ряде других случаев.
Как перевести дробь в другой вид
Предположим, у вас есть обыкновенная дробь, и вы хотите сделать из неё десятичную. Что для этого нужно сделать?
К слову сказать, нужно заранее определиться, что не любое число можно без проблем записать в десятичном виде. Иногда приходится результат округлять, теряя некоторое количество знаков после запятой, а во многих областях - например, в точных науках - это совершено непозволительная роскошь. В то же время действия с десятичными и обыкновенными дробями в 5 классе позволяют осуществлять такой перевод из одного вида в другой без помех, хотя бы в качестве тренировки.
Если из знаменателя путём умножения или деления на целое число можно получить значение, кратное 10, перевод пройдёт без каких-либо трудностей: ¾ превращается в 0,75, 13/20 - в 0,65.
Обратная процедура выполняется ещё проще, поскольку из десятичной дроби можно всегда получить обыкновенную без потерь в точности. Например, 0,2 становится 1/5, а 0,08 - 4/25.
Внутренние преобразования
Прежде чем осуществлять совместные действия с обыкновенными дробями, нужно подготовить числа к возможным математическим операциям.
Перво-наперво нужно привести все имеющиеся в примере дроби к одному общему виду. Они должны быть либо обыкновенными, либо десятичными. Сразу оговоримся, что умножение и деление удобнее выполнять с первыми.
В подготовке чисел к дальнейшим действиям вам поможет правило, известное как и используемое как в первые годы изучения предмета, так и в высшей математике, которую изучают в университетах.
Свойства дробей
Предположим, у вас есть некоторое значение. Скажем, 2/3. Что изменится, если вы умножите числитель и знаменатель на 3? Получится 6/9. А если на миллион? 2000000/3000000. Но постойте, ведь число качественно совершенно не меняется - 2/3 остаются равны 2000000/3000000. Меняется только форма, но не содержание. То же самое произойдёт при делении обеих частей на одно и то же значение. В этом и заключается основное свойство дроби, которое неоднократно поможет вам производить действия с десятичными и обыкновенными дробями на контрольных и экзаменах.
Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число называется расширением дроби, а деление - сокращением. Надо сказать, что зачеркивание одинаковых чисел в верхней и нижней части при перемножении и делении дробей - удивительно приятная процедура (в рамках урока математики, конечно). Создается впечатление, что ответ уже близок и пример практически решен.
Неправильные дроби
Неправильной дробью называется такая, у которой числитель больше или равен знаменателю. Иными словами, если у неё можно выделить целую часть, она попадает под это определение.
Если такое число (большее либо равное единице) представлено в виде обыкновенной дроби, она будет называться неправильной. А если числитель меньше знаменателя - правильной. Оба вида одинаково удобны при осуществлении возможных действий с обыкновенными дробями. Их можно беспрепятственно умножать и делить, складывать и вычитать.
Если же одновременно выделена целая часть и при этом имеется остаток в виде дроби, полученное число будет называться смешанным. В будущем вы столкнетесь с различными способами комбинации таких структур с переменными, а также решением уравнений, где потребуются эти знания.
Арифметические операции
Если с основным свойством дроби всё ясно, то как вести себя при перемножении дробей? Действия с обыкновенными дробями в 5 классе подразумевают все виды арифметических операций, которые выполняются двумя различными способами.
Умножение и деление выполняются очень просто. В первом случае просто перемножаются числители и знаменатели двух дробей. Во втором - то же самое, только крест-накрест. Таким образом, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, и наоборот.
Для выполнения сложения и вычитания нужно произвести дополнительное действие - привести все компоненты выражения к общему знаменателю. Это значит, что нижние части дробей должны быть изменены до одинакового значения - числа, кратного обоим имеющимся знаменателям. Например, для 2 и 5 это будет 10. Для 3 и 6 - 6. Но что тогда делать с верхней частью? Мы же не можем оставить её в прежнем виде, если изменили нижнюю. Согласно основному свойству дроби мы умножим числитель на то же число, что и знаменатель. Эта операция должна быть произведена с каждым из чисел, которые мы будем складывать или вычитать. Впрочем, такие действия с обыкновенными дробями в 6 классе выполняются уже «на автомате», а трудности возникают только на начальном этапе изучения темы.
Сравнение
Если у двух дробей одинаковый знаменатель, то больше будет та из них, числитель которой больше. Если же одинаковы верхние части, то больше будет та, у которой меньше знаменатель. Стоит иметь в виду, что столь удачные ситуации для сравнения выпадают нечасто. Скорее всего, и верхние, и нижние части выражений совпадать не будут. Тогда понадобится вспомнить про возможные действия с обыкновенными дробями и использовать приём, применяемый при сложении и вычитании. Кроме того, помните, что если мы говорим об отрицательных числах, то большая по модулю дробь окажется меньшей.
Преимущества обыкновенных дробей
Случается, что преподаватели говорят детям одну фразу, содержание которой можно выразить так: чем больше информации дано при формулировке задания, тем проще будет решение. Кажется, что звучит странно? Но действительно: при большом количестве известных величин можно пользоваться практически любыми формулами, а вот если предоставлена лишь пара чисел, могут потребоваться дополнительные размышления, придётся вспоминать и доказывать теоремы, приводить аргументы в пользу своей правоты…
К чему мы это? Да к тому, что обыкновенные дроби при всей своей громоздкости могут сильно упростить жизнь ученику, позволяя при перемножении и делении сокращать целые строки значений, а при расчёте суммы и разности выносить общие аргументы и, опять же, сокращать их.
Когда требуется осуществить совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями, трансформации осуществляются в пользу первых: как вы переведете 3/17 в десятичный вид? Только с потерями информации, не иначе. А вот 0,1 можно представить как 1/10, а далее - как 17/170. И тогда два получившихся числа можно складывать или вычитать: 30/170 + 17/170 = 47/170.
Чем полезны десятичные дроби
Если действия с обыкновенными дробями осуществлять и сподручнее, то записывать все с их помощью крайне неудобно, десятичные здесь имеют существенное преимущество. Сравните: 1748/10000 и 0,1748. Это одно и то же значение, представленное в двух различных вариантах. Разумеется, второй способ проще!
Кроме того, десятичные дроби проще представить, поскольку все данные имеют общее основание, различающееся исключительно на порядки. Скажем, скидку в 30% мы легко осознаем и даже оценим как значительную. А сразу ли вы поймете, что больше - 30% или 137/379? Таким образом, десятичные дроби обеспечивают стандартизацию расчётов.
В старших классах ученики решают квадратные уравнения. Выполнять действия с обыкновенными дробями здесь уже крайне проблематично, поскольку формула для расчёта значений переменной содержит квадратный корень из суммы. При наличии дроби, не сводимой к десятичной, решение усложняется настолько, что рассчитать точный ответ без калькулятора становится практически невозможно.
Итак, каждый способ представления дробей имеет свои преимущества в соответствующем контексте.
Формы записи
Существует два способа записи действий с обыкновенными дробями: через горизонтальную черту, в два «яруса», и через наклонную черту (она же - «слэш») - в строку. Когда ученик пишет в тетради, первый вариант обычно удобнее, а потому и более распространен. Распределение рядом цифр по клеточкам способствует развитию внимательности при расчётах и проведении преобразований. При записи в строку можно по невнимательности перепутать порядок действий, потерять какие-либо данные - то есть, ошибиться.
Достаточно часто в наше время возникает необходимость напечатать числа на компьютере. Разделять дроби традиционной горизонтальной чертой можно, используя функцию в программе «Майкрософт Ворд» 2010 и более позднего года выпуска. Дело в том, что в этих версиях софта есть опция под названием «формула». Она выводит на экран прямоугольное трансформируемое поле, в рамках которого можно комбинировать любые математические символы, составлять и двух-, и «четырехэтажные» дроби. В знаменателе и числителе можно пользоваться скобками, знаками операций. В результате вы сможете записать любые совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями в традиционной форме, т. е. так, как это учат делать в школе.
Если же вы будете пользоваться стандартным текстовым редактором «Блокнот», то все дробные выражения нужно будет писать через наклонную черту. Другого способа здесь, к сожалению, не предусмотрено.
Заключение
Вот мы и рассмотрели все основные действия с обыкновенными дробями, которых, оказывается, не так уж и много.
Если поначалу может казаться, что это сложный раздел математики, то это только временное впечатление - помните, когда-то вы так думали про таблицу умножения, а ещё раньше - про обычные прописи и счёт от одного до десяти.
Важно понимать, что дроби используются в повседневной жизни повсюду. Вы будете иметь дело с деньгами и инженерными расчётами, информационными технологиями и музыкальной грамотой, и везде - везде! - дробные числа будут фигурировать. Поэтому не поленитесь и изучите эту тему хорошенько - тем более не такая уж она и сложная.