Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, обладающую пятью углами. При этом, с точки зрения геометрии, в категорию пятиугольников входят любые многоугольники, обладающие этой характеристикой, вне зависимости от расположения его сторон.
Сумма углов пятиугольника
Пятиугольник фактически представляет собой многоугольник, поэтому для вычисления суммы его углов можно воспользоваться формулой, принятой для исчисления указанной суммы в отношении многоугольника с любым количеством углов. Указанная рассматривает сумму углов многоугольника как следующее равенство: сумма углов = (n - 2) * 180°, где n - число углов в искомом многоугольнике.Таким образом, в случае, когда речь идет именно о , значение n в данной формуле будет равно 5. Таким образом, подставляя заданное значение n в формулу, получается, что сумма углов пятиугольника составит 540°. Вместе с тем, следует иметь в виду, что применение этой формулы в отношении конкретного пятиугольника связано с рядом ограничений.
Виды пятиугольников
Дело в том, что указанная формула , имеющего , как и для остальных видов этих геометрических фигур, может применяться только в том случае, если речь идет о так называемом выпуклом многоугольнике. Он, в свою очередь, представляет собой геометрическую фигуру, удовлетворяющую следующему условию: все ее точки находятся по одну сторону от прямой, которая проходит между двумя соседними вершинами.Таким образом, существует целая категория пятиугольников, сумма углов в которых будет отличаться от указанной величины. Так, например, одним из вариантов невыпуклого пятиугольника является геометрическая фигура звездчатой формы. Звездчатый пятиугольник также можно получить, используя всю совокупность диагоналей правильного пятиугольника, то есть пентагона: в этом случае образовавшаяся геометрическая фигура будет носить название пентаграммы, которая обладает равными углами. В этом случае сумма указанных углов будет составлять 180°.
В мире математики сенсация. Открыт новый вид пятиугольников , которые покрывают плоскость без разрывов и без перекрытий.
Это всего 15-й вид таких пятиугольников и первый, открытый за последние 30 лет.
Плоскость покрывается треугольниками и четырехугольниками любой формы, а вот с пятиугольниками все гораздо сложнее и интереснее. Правильные пятиугольники не могут покрыть плоскость, но некоторые неправильные пятиугольники могут. Поиск таких фигур уже сто лет является одной из самых интересных математических задач. Квест начался в 1918 году, когда математик Карл Рейнхард открыл пять первых подходящих фигур.
Долгое время считалось, что Рейнхард рассчитал все возможные формулы и больше таких пятиугольников не существует, но в 1968 году математик Р.Б.Кершнер (R. B. Kershner) нашел еще три, а Ричард Джеймс (Richard James) в 1975 году довел их число до девяти. В том же году 50-летняя американская домохозяйка и любительница математики Марджори Райс (Marjorie Rice) разработала собственный метод нотации и в течение нескольких лет открыла еще четыре пятиугольника. Наконец, в 1985 году Рольф Штайн довел число фигур до четырнадцати.
Пятиугольники остаются единственной фигурой, в отношении которой сохраняется неопределенность и загадка. В 1963 году было доказано, что существует всего три вида шестиугольников, покрывающих плоскость. Среди выпуклых семи-, восьми- и так далее -угольников таких нет. А вот с «пентагонами» пока не все ясно до конца.
До сегодняшнего дня было известно всего 14 видов таких пятиугольников. Они изображены на иллюстрации. Формулы для каждого из них приведены по ссылке .
В течение 30 лет никто не мог найти ничего нового, и вот наконец-то долгожданное открытие! Его сделала группа ученых из Вашингтонского университета: Кейси Манн (Casey Mann), Дженнифер Маклауд (Jennifer McLoud) и Дэвид вон Деро (David Von Derau). Вот как выглядит маленький красавчик.
«Мы открыли фигуру с помощью компьютерного перебора большого, но ограниченного количества вариантов, - говорит Кейси Манн. - Конечно, мы очень взволнованы и немного удивлены, что удалось открыть новый вид пятиугольника».
Открытие кажется чисто абстрактным, но на самом деле оно может найти практическое применение. Например, в производстве отделочной плитки.
Поиск новых пятиугольников, покрывающих плоскость, наверняка продолжится.
Многоугольник - геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией; линия, которая получается, если взять n любых точек А 1 , А 2 , ..., А n и соединить прямолинейными отрезками каждую из них с последующей, а последнюю с первой.
Многоугольники бывают двух типов: выпуклые и невыпуклые . Мы подробнее рассмотрим выпуклые многоугольники. Многоугольник называют выпуклым , если никакая сторона многоугольника, будучи неограниченно продолженной, не разрезает многоугольник на две части. Выпуклые многоугольники бывают правильными и неправильными, но мы рассмотрим правильные. Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.
Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра. Свойства правильного многоугольника:
1) Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают;
2) Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей;
3) Сторона правильного n -угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой;
4) Периметры правильных n -угольников относятся как радиусы описанных окружностей.
5) Диагонали правильного n-угольника делят его углы на равные части.
Правильный пятиугольник
Подробнее остановимся на правильном пятиугольнике - пентагоне.
Основные соотношения: угол при вершине пятиугольника равен 108°, внешний угол - 72°. Сторона пятиугольника выражается через радиусы вписанной и описанной окружности:
Построим правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные 72°. Стороны углов пересекут окружность в пяти точках, соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольники все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т.е. знаменитую пентаграмму. Интересно, что стороны пентаграмм, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму и так далее до бесконечности (см. рис. 6).
Пентаграмма - правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т.д. Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с греческого пентаграмма означает дословно пять линий. Пентаграмма была отличительным знаком школы Пифагора (580-500 гг. до н.э.). Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Мы уже писали, что пифагорейцы рассматривали мир как устроенный по законам числовой гармонии. Они обнаружили, что восприятие гармонии в музыке связано с некоторыми отношениями между числами (см. Гармония Пифагора); но и зрительная гармония, оказывается, тоже связана с определенными соотношениями различных отрезков. В этом плане наиболее знаменито золотое сечение – такой способ деления отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части, как большая к меньшей:
Скульптор Поликлет разработал идею канона (правила) для изображения пропорционального человеческого тела и наглядно воплотил свой канон в статуе «Дорифор» («Копьеносец»), иначе называвшейся просто «Канон». В пропорциях статуи в изобилии присутствует золотое сечение. Например, отношение высот нижней и верхней частей, на которые статую делит пупок, равно золотому сечению; в свою очередь, основание шеи делит верхнюю часть также в золотом сечении; колени делят нижнюю часть в золотом сечении, и т. д.
В эпоху Возрождения у ученых и художников возник новый интерес к золотому сечению. Итальянский математик Лука Пачоли посвятил ему книгу «Божественная пропорция». А его другу – великому Леонардо да Винчи – принадлежит сам термин «золотое сечение» (древние обычно называли его «делением отрезка в крайнем и среднем отношении»). «Золотое сечение» нередко встречается в произведениях Рафаэля, Микеланджело, Дюрера.
Иоганн Кеплер, не чуждый пифагорейским представлениям о лежащей в основе Вселенной числовой гармонии, говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением; первую можно сравнить с мерой золота, второе же – с драгоценным камнем.
Экспериментально доказано, что, например, из прямоугольников с различными отношениями сторон человеческий глаз предпочитает те, в которых это отношение равно золотому сечению. Листы бумаги, плитки шоколада, кредитные карточки и т. д. очень часто делают в форме именно таких прямоугольников.
Чтобы разделить данный отрезок AB в пропорции золотого сечения, нужно восстановить через один из его концов, скажем, через точку B , перпендикуляр, отложить на нем отрезок BD = AB /2 , провести отрезок AD , отложить на нем отрезок DE = AB /2 и, наконец, отметить на отрезке AB точку C такую, что AC = AE . Точка C и будет делить отрезок AB в золотом сечении.
Докажем это. По теореме Пифагора (AE + ED ) 2 = AB 2 + BD 2 , или
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2 , а поскольку BD = DE = AB /2 и AE = AC , то
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2 ,
откуда AC 2 = AB (AB – AC ) .
Так как AB – AC = BC , то имеем
AC 2 = AB ∙ BC , откуда
Приведенное построение позволяет найти числовое значение золотого сечения. Оно равно отношению всего отрезка AB к отрезку
Таким образов, золотое сечение выражается числом 
Это число приблизительно равно 1,618. Часто оно называется числом Фидия и обозначается греческой буквой Φ:
| Φ = |
Число иногда называют малым числом Фидия (а Φ тогда – большим числом Фидия) и обозначают φ. Оно приблизительно равно 0,618.
Золотое сечение выражается иррациональным числом. Это следует из иррациональности (если бы золотое сечение было рациональным, то и число = 2Φ – 1 тоже было бы рациональным), а иррациональность можно доказать аналогично иррациональности Кроме того, иррациональность Φ довольно просто показать с помощью геометрической иллюстрации алгоритма Евклида. Пусть мы имеем прямоугольник a 1 × a 2 , стороны которого относятся в золотом сечении. Отложив на большей стороне меньшую, мы получим квадрат, а оставшийся прямоугольник будет подобен исходному прямоугольнику: Применив к нему ту же операцию, мы снова получим квадрат и прямоугольник, подобный исходному, и т. д. (Интересно, что первый, третий, пятый и т. д. прямоугольники имеют общую диагональ, как и второй, четвертый, шестой и т. д.; эти две диагонали пересекаются под прямым углом в точке, которая принадлежит всем прямоугольникам).
Поскольку этот алгоритм никогда не закончится, у отрезков a 1 и a 2 нет общей меры. Кеплер говорил, что золотое сечение постоянно воспроизводит само себя. Оно нередко встречается в живой природе в строении таких организмов, части которых приблизительно подобны целому – например, в раковинах, в расположении листьев на побегах и т. д.
 |
|
Рис. 5. Раковина |
Наконец, золотое сечение позволяет построить правильный пятиугольник. (Правильные трех- и четырехугольник вы умеете строить и без подсказки, не так ли? Описывая вокруг них окружности и деля стороны пополам, нетрудно построить правильные многоугольники с 2 n и с 3 ∙ 2 n вершинами). Если продлить стороны правильного пятиугольника до точек пересечения с продолжениями смежных сторон, получится красивая пятиконечная звезда. Это древний мистический символ, популярный, в частности, у пифагорейцев: он называется «пентаграмма» или «пентальфа», то есть, дословно, «пять букв» или «пять альф» – в нем усматривали соединение пяти букв «альфа» (А). Пентаграмма считалась символом здоровья – гармонии в человеке – и служила у пифагорейцев опознавательным знаком. (Например, когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не имел денег, чтобы заплатить человеку, ухаживавшему за ним до самой его кончины, то велел изобразить пентаграмму на двери своего жилища. Спустя несколько лет другой пифагореец увидел этот знак и хозяин получил щедрое вознаграждение). Оказывается, что в пентаграмме различные линии делят друг друга в отношении золотого сечения. В самом деле, треугольники ACD и ABE подобны, AB : AC = AE : AD . Но AD = BC , а AE = AC , и поэтому AB : AC = AC : BC . Получается, что любой из 10 отрезков внешнего контура звезды относится в золотом сечении к любому из 5 отрезков, образующих маленький внутренний пятиугольник.
Между прочим, из подобия тех же треугольников ACD и ABE следует, что треугольник ACD равнобедренный и CD = AD . Значит, диагональ правильного пятиугольника относится к его стороне тоже в золотом сечении. Все пять диагоналей правильного пятиугольника образуют еще одну пентаграмму, в которой снова повторяются все соотношения.
Если нужно построить правильный пятиугольник со стороной a 1 , то надо разделить отрезок a 1 в золотом сечении на отрезки a 2 и a 3 , затем построить равнобедренный треугольник со сторонами a 1 , a 1 и (a 1 + a 2). Два отрезка длины a 1 составят две стороны искомого пятиугольника, а отрезок длиной a 1 + a 2 = a 1 /Φ – его диагональ. С помощью построения других треугольников не составляет труда найти и оставшиеся вершины пятиугольника.
В средние века пентаграмма служила символом Венеры: эта планета приближается к Земле в пяти точках, образующих пятиугольник.
Равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны относятся к основанию в золотом сечении – например, треугольник, образуемый двумя диагоналями и стороной правильного пятиугольника – обладает еще одним интересным свойством: биссектрисы его углов при основании равны самому основанию.
Такой треугольник часто встречается в композиции различных художественных произведений – например, в знаменитой «Джоконде» Леонардо да Винчи.