§ 11. Пропорциональные отрезки в круге .
1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.
2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.
3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.
2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.
4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.
5. АСВ-полуокружность; CD - перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:
1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;
2) определить АВ, если AD: DB= 4: 9 и CD=30;
3) определить AD, если CD=3AD, а радиус равен r ;
4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.
6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.
2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.
3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.
7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.
8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.
9. Построить отрезок, равный: √15 ; √10 ; √6 ; √3 .
10. ADB-диаметр; АС-хорда; CD-перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.
11. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:
1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;
2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;
3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7 / 9 AD.
12. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:
1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;
2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.
13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.
14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).
15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?
16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h = 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА (ВС = х ).
17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт. 40) сделано закругление; при этом оказалось, ; что BС= а = 42,4 м. Определить радиус закругления OA = R.
18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился в 2 1 / 2 раза. Как изменился отрезок MB?
19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая - пополам. Определить длину второй хорды.
2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая- в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.
20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.
21. Секущая ABC повёрнута около внешней точки А так, что внешний её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?
22. Пусть ADB и AЕС-две прямые, пересекающие окружность: первая -в точках D и В, вторая -в точках E и С. Требуется:
1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;
2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;
3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.
23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.
24. МАВ и MCD-две секущие к одной окружности. Требуется:
1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;
2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;
3) определить АВ, если АВ= МС, МА = 20 и CD= 11.
25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b , а их продолжения относятся, как т: п .
26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.
27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.
28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 1 / 4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?
29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.
30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.
31. Пусть будет: АВ-касательная и ACD-секущая той же окружности. Требуется:
1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;
2) определить AD, если AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;
3) определить АВ, если AB = CD и АС = а .
32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?
2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?
3) М - наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h 2
Замечание. Так как h 2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈ √2Rh .
33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.
2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.
34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.
2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а , а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.
36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.
36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.
37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.
2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.
38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.
39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.
40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.
41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.
42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.
43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.
44. Радиус равен r , хорда данной дуги равна а . Определить хорду удвоенной дуги.
45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В-хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.
46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с . Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.
Свойство 1 . Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS BS = CS DS, то есть DS/BS = AS/CS.
Доказательство . Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны.
Вписанные углы DCB и DAB равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.
Углы ASD и BSC равны как вертикальные.
Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и СSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция
DS/BS = AS/CS, или AS BS = CS DS,
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то АР/СР = DP/BP.
Доказательство . Пусть А и С - ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью. Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы В и D равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Из подобия треугольников следует пропорция АР/СР = DP/BP, что и требовалось доказать.
Свойство биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Доказательство. Пусть CD биссектриса треугольника ABC. Если треугольник ABC - равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС не равно ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС/ВС = AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия следует: AF/BE = AD/BD. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: АС/ВС = AD/BD или AC/AD = BC/BD, то есть AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС.
Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:
Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.
Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:
Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).
Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,
Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.
Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим
что и требовалось доказать.
Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.
Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:
Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.
Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.
Треугольник ABC – прямоугольный (рис. 11), C = 90°, СD перпендикулярна АВ, ВD и DА – проекции катетов ВС и АС на гипотенузу АВ. Теоремы: 1) высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. ; 2) каждый катет – средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е. , .
Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
|
|
Теорема. Если через точку, взятую внутри
круга, проведены диаметр и произвольная хорда,
то произведение длин отрезков диаметра рав-
но произведению длин отрезков хорды, т.е. (рис. 12).
|
Следствие. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, т.е.
Теорема. Если из точки вне круга проведены касательная и се-кущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, т.е. (рис. 13).
|
Определения. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе, косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенсом отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенсом – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Из точки А вне окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от А до точки касания 16 см, а от А до одной из точек пересечения секущей с окружностью 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
|
На рис. 14 АВ – касательная к окружности с центром O, AD – се-кущая. OK перпендикулярна DC, АВ = 16 см, АD = 32 см, OК = 5 см. По теореме о касательной и секущей или , АС = 8 см. см. По теореме о хордах, пересекающихся внутри круга, , но DK = KC, так как EP – диаметр, перпендикулярный хорде DС. Получим . Заменим в этом равенстве ЕК на , КР на , DК на 12, получим: OE = 13 см – искомый радиус.
104. Стороны прямоугольника 30 и 40 см. Найдите расстояние
от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей через эту вершину.
105. Периметр ромба равен 1 м. Одна диагональ длиннее другой на
1 дм. Вычислите диагонали ромба.
В круге по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 36 и 48 мм, расстояние между ними 42 мм. Вычислите радиус круга.
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5: 6, гипотенуза 122 см. Найдите отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
Касательная и секущая, проведенные из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.
К окружности с радиусом 7 см проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 см. Найдите расстояние между точками касания.
Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм, хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Найдите радиусы окружностей.
Радиус окружности 7 см. Из точки, удаленной от центра на
9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью на равные части. Найдите длину этой секущей.
Касательная к окружности равна 20 см, а наибольшая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 см. Найдите радиус.
Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, длина которой а, а её внутренний отрезок больше внешнего на длину касательной. Найдите длину касательной.
В круг радиусом R вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Найдите высоту треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 48 и 30 дм. Вычислите радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.