В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое числовая функция и какие необходимо знать и уметь исследовать.
Что такое числовая функция ? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.
Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией.
Множество Х называется областью определения функции.
Множество Y называется множеством значений значений функции.
Равенство называется уравнением функции. В этом уравнении - независимая переменная, или аргумент функции. - зависимая переменная.
Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то получим график функции. График функции - это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.
Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя мы можем построить ее график.
Основные свойства функций.
1. Область определения функции.
Область определения функции D(y) -это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции имеет смысл. Другими словами, это выражения .
Чтобы по графику функции найти ее область определения, н ужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ , записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.
2. Множество значений функции.
Множество значений функции Е(y) - это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.
Чтобы по графику функции найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.
3. Нули функции.
Нули функции - это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.
Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение . Корни этого уравнения и будут нулями функции .
Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции .
4. Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть или .
Чтобы найти , нужно решить неравенства и .
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции по ее графику, нужно
5. Промежутки монотонности функции.
Промежутки монотонности функции - это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.
Говорят, что функция
возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента
, принадлежащих промежутку I таких, что
выполняется соотношение:
.
Другими словами, функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.
Говорят, что функция
убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента
, принадлежащих промежутку I таких, что
выполняется соотношение: 
.
Другими словами, функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.
6. Точки максимума и минимума функции.
Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:
.
Графически это означает что точка с абсциссой x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).
Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:
Графически это означает что точка с абсциссой лежит ниже других точек из окрестности I графика функции .
Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.
7. Четность (нечетность) функции.
Функция называется четной, если выполняются два условия:
Другими словами, область определения четной функции симметрична относительно начала координат.
б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение 
.
Функция называется нечетной, если выполняются два условия:
а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.
Основными элементарными функциями называются следующие:
Степенная функция , где ;
Показательная функция , где ;
Логарифмическая функция где ;
Тригонометрические функции ;
Обратные тригонометрические функции: ,
Элементарными функциями являются основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и суперпозиции, например:
Назовем некоторые классы элементарных функций.
Целая рациональная функция , или многочлен , где n- целое неотрицательное число (степень многочлена), - постоянные числа (коэффициенты).
Дробно-рациональная функция , которая является отношением двух целых рациональных функций:
Целые рациональные и дробно-рациональные функции образуют класс рациональных функций .
Иррациональная функция – это та, которая изображается с помощью суперпозиций рациональных функций и степенных функций с рациональными целыми показателями, например:
Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических функций.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Степенная функция
Рис. 2.1. Рис. 2.2.
Рис. 2.3. Рис. 2.4.
Рис. 2.5. Обратно пропорциональная Рис. 2.6. Обратно пропорциональная
зависимость зависимость
Рис. 2.7. Степенная функция с положительным рациональным
показателем
Рис. 2.8. Степенная функция с положительным рациональным
показателем
Рис. 2.9. Степенная функция с положительным рациональным
показателем
Рис. 2.10. Степенная функция с отрицательным рациональным
показателем
Рис. 2.11. Степенная функция с отрицательным рациональным
показателем
Рис. 2.12. Степенная функция с отрицательным
рациональным показателем
Рис. 2.13. Показательная функция
Рис. 2.14. Логарифмическая функция
3p/2 -p/2 0 p/2 3p/2 x
Рис. 2.15. Тригонометрическая функция
3p/2 p/2 p/2 3p/2
Рис. 2.16. Тригонометрическая функция
P/2 p/2 -p p/2 3p/2
P 0 p x -p/2 0 p x
Рис. 2.17. Тригонометрическая Рис. 2.18. Тригонометрическая
функция функция
Рис. 2.19. Обратная тригономет- Рис. 2.20. Обратная тригонометри-
рическая функция ческая функция
Рис. 2.21. Обратная тригонометрическая Рис. 2.22. Обратная тригонометри-
функция ческая функция
Рис. 2.23. Обратная тригонометри- Рис. 2.24. Обратная тригонометри- ческая функция ческая функция
Рис. 2.25. Обратная тригонометри- Рис. 2.26. Обратная тригонометрическая
ческая функция функция
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Задача 1.
По графику функции путем сдвигов и деформаций построить график функции .
Построение заданной функции проводится в несколько этапов, которые мы здесь рассмотрим. Функцию будем называть основной .
Построение графика функции .
Предположим, что для некоторых x 1 и x 2 основная и заданная функции имеют равные ординаты, то есть . Но тогда должно быть и
В зависимости от знака a возможны два случая.
1. Если a > 0, то точка графика функции смещена вдоль оси OX на a единиц вправо по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.1).
2. Если a < 0, то точка смещена вдоль оси OX на единиц влево по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем
y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)
0 x x+a x x+a 0 x x
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Правило 1. Если a > 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на “a” единиц вправо .
Если a < 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единиц влево .
Примеры. Построить графики функций: 1) ; 2) .
1) Здесь a = 2 > 0. Строим график функции . Сдвинув его на 2 единицы вправо вдоль оси OX, получим график функции
2) Здесь a = -3 < 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции (рис. 3.4).
Y=(x+3) 2 y=x 2
1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x
Рис. 3.3 Рис. 3.4
Замечание. Построение графика функции можно выполнить иначе: построив график основной функции в системе надо перенести ось на а единиц влево , если , и на единиц вправо, если . Тогда в системе получим график функции . Система имеет вспомогательное значение, поэтому ось изображается пунктирно или карандашом.
В качестве примера построим еще раз графики функций и (рис. 3.5) и (рис. 3.6)
0 1 2 x -3 -2 -1 0 x
Рис. 3.5 Рис. 3.6
Построение графика функции где
Пусть для некоторых значений и ординаты функций и равны, то есть . Тогда и . Таким образом, каждой точке графика основной функции соответствует точка графика функции Возможны два случая.
1. Если , то точка лежит в k раз ближе к оси OY, чем точка (рис. 3.7).
2. Если же 0 < k < 1, то точка лежит в раз дальше от оси OY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.
Рис. 3.7 Рис. 3.8
Правило 2. Пусть k > 1. Тогда график функции f(kx) получается из графика функции f(x) путем его сжатия вдоль оси OX в k раз (иначе: его сжатием к оси OY в k раз).
Пусть 0 < k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.
Примеры. Построить графики функций: 1) и ;
2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x
Рис. 3.9 Рис. 3.10
1. Строим график функции - кривая (1) на рис. 3.9. Сжав его в два раза к оси OY, получим график функции - кривая (2) на рис. 3.9. При этом, например, точка (1; 0) переходит в точку , точка переходит в точку .
Замечание. Обратите внимание: точка , лежащая на оси OY, остается на месте. Действительно, всякой точке N(0, y) графика f(x) соответствует точка графика f(kx).
График функции получается растяжением графика функции от оси OY в 2 раза. При этом снова точка остается без изменения (кривая (3) на рис. 3.9).
2. По графику функции , построенному в промежутке , строим графики функций - кривые (1), (2), (3) на рис. 3.10. Обратите внимание, что точка (0; 0) остается неподвижной.
Построение графика функции y=f(-x).
Функции f(x) и f(-x) принимают равные значения для противоположных значений аргумента x. Следовательно, точки N(x;y) и M(-x;y) их графиков будут симметричны относительно оси OY.
Правило 3. Чтобы построить график f(-x), надо график функции f(x) зеркально отразить относительно оси OY.
Примеры.
Решения показаны на рис. 3.11 и 3.12.
Рис. 3.11 Рис. 3.12
Построение графика функции y=f(-kx), где k > 0.
Правило 4. Строим график функции y=f(kx) в соответствии с правилом 2. График функции f(kx) зеркально отражаем от оси OY в соответствии с прави-
лом 3. В результате получим график функции f(-kx).
Примеры. Построить графики функций
Решения показаны на рис. 3.13 и 3.14.
1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x
Рис. 3.13 Рис. 3.14
Построение графика функции , где A > 0. Если A > 1, то для каждого значения ордината заданной функции в А раз больше, чем ордината основной функции f(x). В этом случае происходит растяжение графика f(x) в А раз вдоль оси OY (иначе: от оси OX).
Если же 0 < A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль оси OY (или от оси OX).
Правило 5. Пусть A > 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его растяжения в А раз вдоль оси OY (или от оси OX).
Пусть 0 < A < 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его сжатия в раз вдоль оси OY (или к оси OX).
Примеры. Построить графики функций 1) , и 2) ,
1 0 p/2 p p/3 p x
Рис. 3.15 Рис. 3.16
Построение графика функции .
Для каждого точки N(x,y) функции f(x) и M(x, -y) функции -f(x) симметричны относительно оси OX, поэтому получаем правило.
Правило 6. Для построения графика функции надо график зеркально отразить относительно оси OX.
Примеры. Построить графики функций и (рис. 3.17 и 3.18).
0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x
Рис. 3.17 Рис. 3.18
Построение графика функции , где A>0.
Правило 7. Строим график функции , где A>0, в соответствии с правилом 5. Полученный график отражаем зеркально от оси OX в соответствии с правилом 6.
Построение графика функции .
Если B>0, то для каждого ордината заданной функции на B единиц больше, чем ордината f(x). Если же B<0, то для каждого ордината первой функции уменьшается на единиц по сравнению с ординатой f(x). Таким образом, получаем правило.
Правило 8. Чтобы построить график функции по графику y=f(x), надо этот график перенести вдоль оси OY на В единиц вверх, если B>0, или на единиц вниз, если B<0.
Примеры. Построить графики функций: 1) и
2) (рис. 3.19 и 3.20).
0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x
Рис. 3.19 Рис. 3.20
Схема построения графика функции .
Прежде всего запишем уравнение функции в виде и обозначим . Тогда график функции строим по следующей схеме.
1. Строим график основной функции f(x).
2. В соответствии с правилом 1 строим график f(x-a).
3. Путем сжатия или растяжения графика f(x-a) с учетом знака k по правилам 2-4 строим график функции f .
Обратите внимание: сжатие или растяжение графика f(x-a) происходит относительно прямой x=a (почему?)
4. По графику в соответствии с правилами 5-7 строим график функции .
5. Полученный график сдвигаем вдоль оси OY в соответствии с правилом 8.
Обратите внимание: на каждом шаге построения в качестве графика основной функции выступает предыдущий график.
Пример. Построить график функции . Здесь k=-2, поэтому . Учитывая нечетность , имеем .
1. Строим график основной функции .
2. Сместив его вдоль оси OX на единицы вправо, получим график функции
(рис. 3.21).
3. Полученный график сжимаем в 2 раза к прямой и таким образом получаем график функции (рис. 3.22).
4. Сжав к оси OX последний график в 2 раза и зеркально отразив его от оси OX, получим график функции (рис. 3.22 и 3.23).
5. Наконец, смещением на вверх по оси OY получаем график искомой функции (рис. 3.23).
1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x
Рис. 3.21 Рис. 3.22
0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x
Рис. 3.23 Рис. 3.24
Задача 2.
Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
Решение этой задачи также состоит из нескольких этапов. При этом необходимо помнить определение модуля:
Построение графика функции .
Для тех значений , для которых , будет . Поэтому здесь графики функций и f(x) совпадают. Для тех же , для которых f(x)<0, будет . Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции .
Правило 9. Строим график функции y=f(x). После этого ту часть графика f(x), где , оставляем без изменения, а ту его часть, где f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.
Замечание. Обратите внимание, что график всегда лежит выше оси OX или касается ее.
Примеры. Построить графики функций
(рис. 3.24, 3.25, 3.26).
Рис. 3.25 Рис. 3.26
Построение графика функции .
Так как , то , то есть задана четная функция, график которой симметричен относительно оси OY.
Правило 10. Строим график функции y=f(x) при . Отражаем построенный график от оси OY. Тогда совокупность двух полученных кривых даст график функции .
Примеры. Построить графики функций
(рис.3.27, 3.28, 3.29)
-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x
Рис. 3.27 Рис. 3.28 Рис. 3.29
Построение графика функции .
Строим график функции по правилу 10.
Строим график функции по правилу 9.
Примеры. Построить графики функций и .
1. Строим график функции (рис. 3.28)
Отрицательную часть графика отражаем от оси OX. График изображен на рис. 3.30.
2 0 2 x -1 0 1 x
Рис. 3.30 Рис. 3.31
2. Строим график функции (рис. 3.29).
Отражаем отрицательную часть графика от оси OX. График изображен на рис. 3.31.
При построении графика функции, содержащей знаки модуля, весьма существенно знать промежутки знакопостоянства функции. Поэтому решение каждой задачи необходимо начинать с определения этих промежутков.
Пример. Построить график функции .
Область определения . Выражения x+1 и x-1 изменяют свои знаки в точках x=-1 и x=1. Поэтому область определения разобьем на четыре промежутка:
Учитывая знаки x+1 и x-1, имеем
Таким образом, функцию можно записать без знаков модуля следующим образом:
Функциям соответствуют гиперболы, а функции y=2 – прямая линия. Дальнейшее построение можно провести по точкам (рис. 3.32).
| x | -4 | -2 | -1 | - | ||||
| y |
4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Замечание. Обратите внимание, что при x=0 функция не определена. Говорят, что функция в этой точке терпит разрыв. На рис. 3.32 это отмечено стрелками.
Задача 3. Построение графика функции, заданной несколькими аналитическими выражениями.
В предыдущем примере функцию мы представили несколькими аналитическими выражениями. Так, в промежутке она изменяется по закону гиперболы ; в промежутке , кроме x=0, это линейная функция; в промежутке снова имеем гиперболу . Подобные функции часто будут встречаться в последующем. Рассмотрим простой пример.
Путь поезда от станции А до станции B состоит из трех участков. На первом участке он набирает скорость, то есть в промежутке его скорость , где . На втором участке он движется с постоянной скоростью, то есть v=c, если . Наконец, при торможении его скорость будет . Таким образом, в промежутке скорость движения изменяется по закону
Построим график этой функции, полагая a 1 =2, c=2, b=6, a 2 =1 (рис. 3.33).
0 1 2 3 4 5 6 x 0 π/2 π x
Рис. 3.33 Рис. 3.34
В этом примере скорость v изменяется непрерывно. Однако в общем случае процесс может протекать более сложно. Так, функция
имеет более сложный график (рис. 3.34), который в точке терпит разрыв.
Таким образом, если задана функция
то надо построить график функции y=f(x) в промежутке и график функции в промежутке . Совокупность двух таких линий даст график заданной функции.
Задача 4. Построение кривых, заданных параметрически.
Задание кривой L параметрически характеризуется тем, что координаты x,y каждой точки задаются как функции некоторого параметра t:
При этом в качестве параметра t может выступать время, угол поворота и т.д.
К параметрическому заданию кривой L прибегают в тех случаях, когда трудно или вообще невозможно выразить явным образом y как функцию аргумента x , то есть y=f(x). Приведем некоторые примеры.
Пример 1. Декартовым листом называется кривая L , уравнение которой имеет вид .
Положим здесь , тогда или , то есть , . Итак, параметрические уравнения декартова листа имеют вид: , , где .
Кривая изображена на рис. 3.35. Она имеет асимптоту y=-a-x.
Тема урока: Построение графиков функций, содержащих модули . Знакомство с функциями ЕСЛИ и ABS .
Учитель математики и информатики МОБУ СОШ №2 села Новобелокатай, Белокатайского района Галиуллина Юлия Рафаиловна.
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс» под ред. Колмогорова, Угринович Н.Д. «Информатика и ИКТ 10 класс».
Тип урока: обучающий урок с применением информационных технологий.
Цель урока: проверить знания, умения, навыки по данной теме.
Задачи урока:
Обучающая
систематизация и обобщение знаний по данной теме;
научить определять наиболее удобный метод решения;
научить строить графики функции с использованием электронной таблицы.
Развивающая
развитие способности самоконтроля;
активизация мыслительной деятельности учащихся;
Воспитательная
воспитание мотивов учения, добросовестного отношения к труду.
Методы обучения: частично-поисковый, исследовательский, индивидуальный.
Форма организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, карточки.
Средства обучения: мультимедийный проектор, экран, карточки
Ход урока
I . Организационный момент
Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока
II . Повторение
Закрепление знаний по построению графиков в табличном процессоре.
Фронтальный опрос.
-Как вставить график в Е xcel ?
- Какие виды графиков существуют в Е xcel ?
Закрепление знаний по теме график с модулями.
- В чем смысл функции с модулем?
Разбор примера: y = | x | – 2.
Нужно рассмотреть два случая, когда х=0. Если х=0, то функция будет выглядеть y = x – 2. Построить в тетрадях график данной функции.
А теперь построим график функции с помощью табличного процессора MS Excel. График данной функции можно построить двумя способами:
1 способ: Использование функции ЕСЛИ
Для того чтобы построить график для начала нам нужно заполнить таблицу значений Х и У.
Называем ячейку А2-Х, ячейку В2-У. Следовательно в столбце А будет значение переменной, в столбце В значение функции.
В столбец А вводим переменной в интервале от -5 до 5 с шагом 0,5. Для этого в ячейку А3 вводим -5, а в ячейку А4 формулу =A4+0,5, копируем формулу в последующие ячейки, так как здесь относительная адресация то формула будет меняться при копировании.
После заполнения значений Х, переходим ко второму столбцу, для заполнения которого нужно ввести формулу. В ячейку В4 вводим формулу, в которой используем функцию ЕСЛИ.
Функция «Если» в электронных таблицах MS Excel (Категория - Логические) анализирует результат выражения или содержимое указанной ячейки и помещает в заданную ячейку одно из двух возможных значений или выражений.
Синтаксис функции «ЕСЛИ».
=ЕСЛИ (Логическое выражение; Значение_если_истина; Значение_если_ложь) . Логическое выражение или условие, которое может принимать значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Значение_если_истина – значение, которое принимает логическое выражение в случае его выполнения. Значение_если_ложь – значение, которое принимает логическое выражение в случае его невыполнения».
Логические выражения или условия строятся с помощью операторов сравнения (, =, =) и логических операций (И, ИЛИ, НЕ).
Рис.22 Функция ЕСЛИ
Функция ЕСЛИ относится к логическим.
Вспоминаем смысл функции с модулем: если х=0, то функция будет выглядеть y = x – 2.
Данную формулировку нужно ввести в ячейку В4 в понятном таблице виде. Значение Х находится в столбце А, следовательно если А4
А4-2, иначе =А4-2.
Рис.23 Аргументы функции ЕСЛИ
Формула имеет вид: =ЕСЛИ(A5A5-2;A5-2)
После заполнения таблицы значений. Строим график функции
Пункт меню Вставка-Диаграммы-Точечная. Выбираем один из макетов. На листе появляется пустое поле диаграммы. В контекстном меню данного поля выбираем пункт Выбрать данные. Появляется диалоговое окно Выбрать данные.
В данном диалоговом окне выбираем имя ряда в ячейке А1 или же также можно ввести название с клавиатуры.
В поле значение Х выбираем столбец, в который мы вводили значение переменной.
В поле значение У выбираем столбец, в котором мы с помощью условного оператора ЕСЛИ находили значение функции.
Рис. 24. График функции y = | x | – 2.
2 способ: Использование функции ABS
Также для построения графика с модулем, можно использовать функцию ABS.
Построим график функции y = | x | – 2 с помощью функции ABS.
В примере 2 даны значения переменной Х.
В ячейку В4 вводим формулу с использованием функции АВS
Рис.25. Ввод функции ABS с помощью мастера функций
Формула будет иметь вид: =ABS(A4)-2.
IV . Выполнение практической работы
После разбора двух примеров ученикам раздается практическое задание.
В этих заданиях вам приведены несколько функций с модулями. Вы должны выбрать какую из функции целесообразнее применять в каждом из примеров.
Практическая работа
Ученики рассматривают линейную функцию y = x – 2 и строят её график.
Задача 1. Построить график функции y = | x – 2 |
Задача 2. Построить график функции y = | x | – 2
Задача 3. Построить график уравнения | y | = x – 2
Ученики рассматривают квадратичную функцию y = x 2 – 2х – 3 и строят график.
Задача 1. Построить график функции y = | x 2 – 2х – 3 |
Задача 2. Построить график функции y = | x 2 | – 2 | х | - 3
Задача 3. Построить график уравнения | y | = x 2 – 2х - 3
V . Информация о домашнем задании.
VI .Подведение итогов урока, рефлексия. Ученики и учитель подводят итоги урока, анализируют выполнение поставленных задач.
Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:
- поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
- четность и нечетность;
- промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
- наклонные и горизонтальные асимптоты;
- особые точки функций;
- особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Навигация по странице.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
- Область определения: все множество действительных чисел.
- Постоянная функция является четной.
- Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
- Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
- Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n -ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n -ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций 
и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n -ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n
-ой степени с нечетным показателем корня n
определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций 
и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .
Степенная функция.
Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Степенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .
На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).
Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций, заданных формулами 
(черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).
При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при .
Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
Обратите внимание!
Если a
- отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал 
. При этом оговариваются, что показатель степени a
– несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Переходим к степенной функции , кгода .
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций 
(черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).
Свойства степенной функции с показателем a , .
Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
Приведем примеры графиков степенных функций при 
, они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.
Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.
При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).
Показательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
Логарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .