Американский финансист, один из издателей известной газеты «Financial Times», Чарльз Доу опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом, Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период.
Впоследствии на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая теория технического анализа финансового рынка, которая получила название Теория Доу. Эта теория ведет свое начало с девяностых годов девятнадцатого века, когда Ч.Доу опубликовал свои статьи.
Технический анализ рынков – это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены, основанные на знании предыстории развития цены. Технический анализ для прогнозирования использует математические свойства трендов, а не экономические показатели различных стран, к которым принадлежит та или иная валютная пара.
По нашей оценке, на 20.01.2020 г. лучшими брокерами являются:
Для торговли валютами – AMarkets ;
Для торговли бинарными опционами – Intrade.bar ;
Для инвестирования в ПАММы и др. инструменты – Альпари ;
Для торговли акциями – RoboForex .
В середине двадцатого века, когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов, другой известный американский финансист Ральф Эллиотт предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов, однако, как мы убедимся в последствии не несла в себе полного отражения их свойств.
Эллиотт исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.
Его теория является, пожалуй, на сегодняшний день единственной, которая призывает нас, обратится к самой сущности рынка – цене. И с помощью анализа прошлого поведения, предсказывать ее будущее значение. Для тех, кто еще не знает данной теории, повторим ее основные моменты:
Для обозначения пяти волнового тренда используют цифры, а для противоположного трех волнового – буквы. Если волна направлена в сторону основного тренда и состоит из пяти волновых движений, то она называется – импульсной (рис. 2). Если направление волны противоположно основному тренду и она состоит из трех волновых движений, то она называется – корректировочной (рис. 3).
Волны А и С являются как импульсными, если их рассматривать относительно нисходящего цикла, так и корректировочными, если рассматривать относительного всего цикла.
Основные принципы волновой теории:
1. Главное движение разворачивается в согласии со структурой, состоящей из пяти волн, после которой вся последовательность корректируется структурой из трех волн (рис. 4)
2. Волна 2 корректирует волну 1, волна 4 корректирует волну 3. Полная последовательность волн от 1 до 5 корректируется последовательностью ABC.
3. С точки зрения более крупного масштаба последовательность волн от 1 до 5 составляет волну «более высокой степени».
4. В микромасштабе каждая из волн может быть разложена на мелкие волновые компоненты, в соответствии с принципом изложенном в пункте 3.
5. Основной ритм движения, т.е. «пятерки», корректируемые «тройками», также как и различные правила и нормы, остаются неизменными не зависимо от выбранного масштаба времени.
6. Временной масштаб волновых структур менее важен, чем форма самих структур. Волны могут удлиняться или сужаться, однако базовые формы остаются неизменными.
На рис. 1 представлен волновой цикл Эллиотта.
По теории Эллиотта написано много книг, однако не во многих можно прочесть, что заслуга Ральфа Эллиотта в том, что он применил фрактальную теорию к рынку. В России первым, кто использовал фракталы в торговле, считается Билл Вильямс. Однако, более детальное изучение обеих теорий говорит об обратном. Билл Вильямс использовал термин фрактал для описания своей торговой стратегии и не более того. Автор, называет фракталом комбинацию из пяти баров (рис. 6). Конечно же, данная комбинация не отражает всех свойств фракталов и вводит читателя в заблуждение об истинном понимании фрактала. В своих последующих книгах Билл Вильямс и вовсе уходит от применения теории хаоса в торговле, применив «чудо индикатор» – аллигатор. Основанный на скользящих средних, данный индикатор завоевал внимание большинство российских трейдеров, а теория фракталов постепенно канула в безвестность среди общественности.
Теория Эллиотта в отличие от Билла Вильямса не объявляла о применении фракталов на финансовых рынках, однако, именно ее мы можем с уверенностью провозгласить началом к истинному применению фрактального анализа на финансовых рынках. Здесь уместно привести цитату из статьи, где описывается теория Эллиотта:
«Эллиотт был одним из первых, кто четко определил действие Геометрии Фракталов в природе, в данном случае – в ценовом графике. Он предположил, что каждая из только что показанных импульсных и коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму Эллиотта. В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее. Таким образом, Эллиотт применил теорию фракталов для разложения тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому, что трейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части диаграммы они находятся, могут уверенно продавать валюту, когда начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается импульсная волна.»
Теория Эллиотта оказывается гораздо ближе к истинному применению фрактального анализа на финансовых рынках. Исходя из определения фрактала, Эллиотт первым заметил, что волны более мелкого порядка подобны волнам более высокого порядка и то, что система является САМОПОДОБНОЙ. Большинство считает главным в теории Эллиотта то, что он выявил цикл с определенной структурой волн. Пронумеровав его, Эллиотт предложил использовать созданную им схему для повседневной торговли. Но когда большинство из нас сталкиваются с реальностью данных, а не с той простой схемой, что подробно описывается в волновой теории, многие приходят в разочарование в связи с тем, что не обнаруживают данного цикла в его изначальном виде.
Если бы нумерация волн, с присущей ей закономерностью, так как она была описана Эллиоттом, действительно была бы настолько простой, то нам не составляло бы труда, каждый день находить пять волн и ставиться в верном направлении.
Так что же, получается, что теория волн Эллиотта бесполезна для применения?! А как же фракталы? А как же сотни трейдеров, которые применяют данную теорию и говорят, что она работает? Для тех, кто читал книги по волнам Эллиотта, хорошо знакома фраза: «Для того, что бы применять волновую теорию на рынке, необходимы годы тренировок и глубокое понимание ее сущности». Может это и так, если начинать с того, что предложил Эллиотт, но есть гораздо более рациональные методы в достижении профессионализма выявления структуры цены.
Давайте рассмотрим пример и на его основе разберемся, почему происходит путаница в волнах. На рис. 6 (А) изображена валютная пара Евро/Доллар, а на рис. 6 (Б), эта же самая пара в перевернутом состоянии. Однако сейчас, мы отойдем от принципов волновой теории, просто для того, чтобы посмотреть, как наши убеждения могут повлиять на интерпретацию волн. На рис. 6 (А), новичок, который не особо понимает всех волновых принципов, насчитает 3 волны вверх и 2 корректировочные вниз. На рис. 6 (Б) этот же новичок посчитает волны, как 3-х волновая коррекция. Конечно, если разбираться более глубоко, то на рис. 6 (А) хорошо видно как четвертая волна опустилась более чем на 60% от 3 волны, но при этом мы не имеем права сказать нашему новичку, что на рисунке не изображено 5 волн!
На рис. 6 (В) представлена эта же пара, но в более уменьшенном формате. На нем действительно очень хорошо рассматривается цикл Эллиотта, красной линией я обозначил то место, где начинается структура изображенная на рис. 6 (Б). Мы можем сказать, что на рис. 6 (В) присутствуют 5 волн вверх и «схематично» 3 волны вниз. Однако верно ли будет такое утверждение? Почему мы не можем сказать, что не 3 волны, а 5 волн идут в нисходящем направлении? Все дело в том, что это утверждение будет расходиться с нашим представлением о стандартном цикле, предложенным Эллиоттом.
Постойте! Но о каких циклах мы говорим. В нашей повседневной жизни цикл есть определенный промежуток времени с присущим ему подъемом и спадом. Давайте рассмотрим следующий пример:
Всем хорошо известно, что для того чтобы получить максимальную выручку по продажи мороженного, необходимо увеличить объем выпускаемой продукции в мае месяце, когда начинает припекать солнышко и идет повышенный спрос продукт. А для того, чтобы сохранить свою прибыль, мы должны сократить количество выпускаемой продукции в сентябре – октябре. Таким образом, используя сезонность нашей продукции, т.е. цикл (рис. 7) мы можем получить максимальную прибыль с минимум потерь.
На рисунке 6 представлен сезонный цикл по продаже мороженного. Q – это количество продаваемого нами мороженного; Т – время, в данном случае месяцы.
А теперь давайте представим, что у нас сохранились все сметы продаж за 4 года, которые мы проторговали мороженным и посмотрим, как будут выглядеть наши продажи в графическом изображении (рис. 8).
На рис. 8 хорошо просматривается последовательность регулярных и что самое главное самоподобных циклов.
Давайте теперь рассмотрим цикл, предложенный Ральфом Эллиоттом, представленный на рис. 9. Эллиотт предполагал, что данный цикл может развиваться как восходящем (рис. 4), так и в нисходящем (рис. 7) направлениях. Давайте теперь попробуем выстроить последовательность из данных циклов (рис. 9).
Если рис. 9 является достоверным поведением системы, то получается, мы будем наблюдать восходящую волну с 5 волнами меньшего порядка и 3-х волновую нисходящую волну. И наоборот, если мы наблюдаем нисходящую волну, состоящую из 5 волн, то нисходящая, будет состоять из 3-х. Возникает закономерный вопрос: отвечает ли данная картина действительности?
Конечно же, нет. На валютном и на других финансовых рынках существую как восходящие 5 волновые циклы, так и нисходящие (рис. 10).
На рис. 10 изображена валютная пара USD/CHF (А) и валютная пара GBP/USD (Б) в одном ценовом масштабе и соответственно в один и тот же период времени.
Обратите внимание, что на рис. 10(Б) котировки перевернуты, в действительности пара GBP/USD шла в верхнем направлении. Это было сделано для большей наглядности циклов.
Итак. Предположим, что Эллиотт знал об одновременном наличии как восходящих, так и нисходящих циклов, тогда возникает другой вопрос: посредством чего происходит переход от одного цикла к другому? Все дело в том, что если представить наличие обоих циклов по теории Эллиотта, то они просто не состыкуются друг с другом! (рис. 10).
Вернее их можно состыковать, но тогда мы получим следующие варианты развития ситуации:
1. После пятиволновой восходящей волны, будем наблюдать 7-миволновую нисходящую структуру.
2. После пятиволновой нисходящей волны, будем наблюдать 7-миволновую восходящую структуру.
3. После пятиволновой восходящей волны, будем наблюдать 5-миволновой спуск и наоборот, для пятиволновой нисходящей волны будем наблюдать пятиволновой подъем.
Как мы видим, что бы осуществить переход на другой цикл, системе необходимо более чем 3 волны.
Аналитики, изучающие циклы на валютном рынке делятся на две категории: первую представляют экономисты, которые утверждают, что цена движется 5 волнами вверх и 5 волнами вниз, вторую категория представляют Эллиоттовцы, которые ориентируются циклом, представленным на рис. 1. Самое интересное в том, что истина всегда лежит по середине. Правы и те, и другие, только их ошибка состоит в том, что они категорически придерживаются своих предположений, и не позволяют своим убеждения быть более гибкими. Да, на рынке Форекс действительно можно различить как 3-хволновые, так и 5-тиволновые структуры, все зависит от стадии развития цикла. К этому вопросу мы вернемся в разделе («Циклы на валютном рынке»), а сейчас продолжим рассмотрение теории Эллиотта.
Многие, кто применяет теорию Эллиотта, как не странно, больше ориентированы увидеть на рынке именно цикл, который представлен на рис. 4, но ни как не цикл, который представлен на рис. 11 (перевернутый). Наше зрение слишком прямолинейно и не многие могут заставить себя изменить свое восприятие окружающей действительности. Для любого человека смотреть вверх тормашками, гораздо менее привычно, чем смотреть нормальным (неперевернутым) взглядом.
Наши убеждения очень часто расходятся с новыми понятиями. Когда мы видим реальные данные вместо линейной схемы, предложенной Эллиоттом, мы пытаемся наложить данный цикл на сложные конструкции рынка и сделать рациональный прогноз. Я замечал, что когда новичок в первый раз видит рынок, он мало ему интересен. Сложность структуры ассоциируется с недоступностью, непредсказуемостью. Если начинающий прочитал несколько книг по теории Эллиотта и не разу не видел, как движется цена, он вряд ли сумеет сделать толковый прогноз.
Отличие фрактального анализа от теории Эллиотта состоит в том, что он дает более детальное представление о структуре цены. Представим, что вы инопланетянин и вам поручено задание: привезти неизвестное вещество с земли. Известно только то, что вещество называется «цветок», вам нужна роза, однако название вы ее не знаете. У вас есть примерная схема цветка (рис. 12(А)). Вы, видя перед собой чертеж, отправляетесь на землю, думая, что с легкостью все найдете и привезете. Однако, приземлившись с небес на землю, вы вдруг видите, что оказывается из того многообразия растений на земле вам очень трудно отыскать то, что нужно именно вам, потому что все цветы оказались подобными друг другу по вашей схеме. В итоге вы не видите, что роза перед вами. Такая же ситуация возникает и на валютном рынке, когда вы узнаете о существовании теории Эллиотта. Прочитав книгу, вы знаете примерную модель и решаете применить ее в качестве метода для анализа рынка. Только вот не задача, когда сталкиваетесь с реальными данными, вы не видите той простой схемы, что предложил Эллиотт, вместо этого вы наблюдаете множество хаотических, на первый взгляд, волновых колебаний различных форм.
Нашу розу мы сможем обнаружить, если знаем более подробную ее структуру и свойства, которыми обладает данный цветок. На рис. 12(А) мы видим только приблизительную структуру, на рис. 12 (Б) изображена подробная структура цветка.
Давайте ответим на вопрос, который столь продолжительное время оставался без ответа: а что есть фрактал на рынке?
В модели предложенной Эллиоттом, каждая ее часть представляет собой целую форму, цикл. Однако, при всем своем уважении к Ральфу Нельсону Эллиотту, его теория не является фрактальной! Да можно сказать она частично отражает свойство фрактала, но назвать ее полноценной и исчерпывающей невозможно. Эллиотт предложил самоподобную модель поведения цен, которая по своей сущности является фракталом, но она не отображает всех свойств, присущих данному понятию и того, что в действительности происходит на финансовых рынках.
В роли фрактала на финансовых рынках выступает время, а в роли цены БРОУНОВСКОЕ движение обобщенное либо дробное!
А это существенно влияет на трактовку модели Эллиотта. Теперь можно объяснить, почему мы не можем найти циклы одной формы, увеличивая масштаб. Меняя его, мы переходим на другой уровень изображения нашего цикла, представляющего собой ни что иное, как броуновское движение, вследствие чего, будем наблюдать увеличенный фрагмент, однако одинаковый цикл, мы сможем увидеть только после завершения предыдущего! Причем фрагменты цикла вполне могут напоминать общую форму, но не ОБЯЗАТЕЛЬНО быть его КОПИЕЙ.
На рис. 13 представлен цикл Эллиотта. В квадрате находится произвольно выбранная волна. Согласно волновой теории она повторяет весь цикл в целом.
На рис. 14 Показана модель, которая наиболее соответствует действительности. Здесь показан полный цикл и увеличенный его фрагмент. Хорошо видно, что они в значительной степени отличаются друг от друга.
К тому же Эллиотт, слишком упростил действительность, которую мы наблюдаем на экранах своих мониторов. Как мы убедились, изучая рисунок 12, по упрощенной схеме не всегда можно точно определить действительность. Давайте рассмотрим то, что отличает профессионального художника от 5 летнего ребенка. Самым интересным и, пожалуй, забавным, будет то, что и тот и другой, будут ощущать себя в роли художника. Результат их работы мы видим на рис. 15.
Нетрудно отличить какой рисунок выполнил художник, а какой ребенок. Но почему мы так быстро определили, где чей рисунок? Все дело в том, что ребенок видит окружающий мир в более простых формах и его глаз не различает множество цветовых оттенков, а точнее различает, только вот как изобразить это на бумаге он и ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕ ИМЕЕТ. А теперь давайте рассмотрим ситуацию с аналитиками, с разным стажем работы. Начинающий будет обобщать поведение цены и не замечать мелких нюансов, профессионал будет действовать гораздо осмотрительнее и более детально изучать структуру цены, сопоставляя ее с накопившимся опытом. Что значит действовать более детально относительно финансовых рынков?
На рис. 16 изображена подробная структура цены, изучением которой мы и займемся в последующих разделах курса. Невооруженным взглядом можно заметить отличие данной модели от той, которая была предложена Ральфом Нельсоном Эллиоттом. На рис. 16 (Б) приведена упрощенная схема цикла Эллиотта, так как в большинстве случаев именно она и является идеальным представлением о структуре цены в голове трейдера. Но, даже будучи усложненной (рис. 1), она все равно не сравнится с тем, что представлено на рис. 16 (А). Как мы убедимся позже, отличие данных моделей будет не только в детализации элементов, но и в свойствах, присущих каждой из них.
Эллиотт лишь заложил фундамент и предложил упрощенную форму поведения цены, но его можно понять, ведь у него не было ни компьютера, ни различных программ отображающих котировки, как результат – упрощенная модель поведения цены. Нам нужно идти дальше. Известно, что теориям свойственно усложняться и расширяться во времени и если этого не происходит она либо отмирает, либо становится частью другой науки. Порой усложнение пугает, но именно оно позволяет нам переходить из стадии новичка в профессионалы. А уж тем более грех не воспользоваться тем многообразием данных, которое мы повседневно видим на экранах своих мониторов.
Сопоставляя изображения на рис. 12, 15, 16, мы можем сопоставить их структурные различия, однако, глядя на них, мы не можем узнать свойства цветка, дерева, модели, что может нас запутать в поиске цикла. Свойствами для цветка будут являться: его цвет, запах, примерный размер и т.д. Свойствами для фрактальной модели будут: самоподобие, размерность, нерегулярность, самоафинность. Но для того, что бы раскрыть эти свойства, нам необходимо прибегнуть к подробному анализу изучаемого объекта, что поможет нам распознать начало и конец цикла.
| Содержание |
Теория фракталов впервые была изложена французским математиком Б.Мандельбротом, который в соавторстве с Л.Хадсоном написал книгу о фрактальной революции в финансах. Метод привлек внимание исследователей и получил развитие в работах Э.Петерса и российского автора А.Алмазова. Фрактальный анализ на Форекс и товарно-сырьевых рынках нашел практическое применение. Первопроходцем стал , получивший широкую известность как успешный биржевой торговец и автор настольных книг для трейдеров.
Теоретики фрактального анализа рынка приняли за основу зависимость формирования будущих цен от их исторических изменений. Методы фрактального анализа базируются на теории фракталов и используют их свойства для прогнозирования ценообразования.
Как разобраться в хаосе на ценовых графиках
Рассматривая графики движения цен, новички обращают внимание на их хаотичное поведение. Чтобы уловить закономерности этого броуновского движения, надо вникнуть в суть понятия фрактала, который дает возможность увидеть в хаосе строгий порядок, а не беспорядочное блуждание.
Определение фрактальных свойств
Фрактал по Мандельброту является математическим понятием и представляет собой определенную геометрическую форму. При делении она образует мини-копии предыдущей формы.
Математические фракталы представляются как идеально точные образования, а в реальности существует множество отклонений и помех, которые, по мнению Мандельброта, являются действительно важными процессами (отклонениями рассматриваются упорядоченные структуры). Фракталы, с переменной размеренностью, Мандельброт назвал мультифракталами (пример Форекса – изменение динамики валютных пар). Именно самоподобие и размеренность характеризуют фрактал. По размеренности можно определить к какому временному промежутку принадлежит график. Независимо от исследуемых временных периодов, каждый элемент фрактала развивается по принципу подобных моделей.
Применение фрактального анализа в стратегии трейдера даст ряд преимуществ:
- позволит избавиться от давления хаоса, увидеть рынок структурированным;
- дает возможность анализа одновременно нескольких валютных пар;
- можно проанализировать связи между различными парами.
Особенности фрактального анализа финансовых рынков в трудах гуру
Фрактальный анализ Петерса рассматривает модели поведения для инвестиционных стратегий – фрактальные ряды, рынок капиталов, хаос шумов. Изучение работы Петерса придется по вкусу любителям математики – для остальных же, освоение теории Петерса будет труднодоступным занятием.
Фрактальный анализ Алмазова построен на практическом опыте автора, который с 2001 г.ода активно работает на бирже. В книге для начинающих трейдеров («Фрактальная теория»), Алмазов в доступной форме дает представление о сложных математических определениях (непериодический цикл, аттрактор, размерность и др.) Для определения значений цен и выявления графических моделей, предложена функция Вейерштрасса-Мандельброта.
Фрактальный анализ Рындыча. Профессиональный трейдер и знаток фрактального анализа валютных пар А.Рындыч, разработал множество стратегий для использования фрактальной теории на рынке Форекс. Фрактальная теория в трактовке Рындыча основывается на постулате о том, что нахождение фракталов на ценовом графике сводится к поиску разворотных углов, определяющих места разворота рынка. Фрактал здесь принимается как угол отражения, где цена начинает двигаться в противоположном направлении.
Фрактально-волновой анализ
Фракталы и волны неразрывно связанные понятия на биржевом рынке. Волновая теория Эллиотта говорит о том, что рынок работает повторяющимися циклами. Умение найти подобные формации в ценах даст возможность спрогнозировать дальнейшее их развитие.
Фактически волны Эллиотта представляют собой фракталы и также могут быть разбиты на мелкие подобные подволны. С помощью фракталов Эллиотт разложил тренд на понятные составляющие части. Изучение фрактального анализа невозможно без понимания волновой теории Эллиотта, который применил теорию фракталов для анализа финансовых рынков.
Фрактальный анализ временных рядов
Подобные последовательности, которые и являют собой временной ряд, встречаются в различных сферах жизнедеятельности (данные прикладных наук, социология, геология, финансовые рынки и многое др.). Влияния временных рядов на исторические изменения интересующих значений, привлекло внимание приверженцев фрактального анализа рынков, т.к. помогает с большей эффективностью познать фрактальную теорию. Прогнозирование и анализ структуры временных рядов относится к сфере сложных математических расчетов (методы определения и анализа устойчивых трендов, оценка параметров, моделей, корректировки сглаживанием и др. тонкости).
Многочисленные исследования поведения временного ряда подтверждают их определенную степень предсказуемости – именно на этой закономерности настаивает в своих работах Эллиотт. Более поздняя теория динамического хаоса утверждает, что ряды только имеют вид случайных и вполне могут давать прогноз ценообразования в краткосрочной перспективе, причем, чем выше уровень математического анализа закономерностей, тем точнее прогноз и выше размер возможной прибыли.
Фрактальная размерность числового ряда
Ученые, занимающиеся исследованиями влияния размера фрактальности в экономике – в частности, фрактальная размерность тесно связана с реакцией рынка на инвестиционный климат, определяют числовой ряд как степень организованности, которая характеризует интересующий объект изучения. Используя методику R\S-анализа (показатель Херста (Н), индекс размерности), интерпретируются результаты, позволяющие выявить будущие тенденции.
Фрактальная размерность по показателю Н оценивает только общие свойства числового ряда, тогда как локальная структура остается незатронутой. Для определения особенностей поведения временного ряда, в таких случаях, проводится деление числового ряда и вычисление показателя Н различными математическими способами. Общие закономерности определяются путем усреднения полученных данных и применимы ко всему временному интервалу.
Обработка данных способом математических расчетов реализована в программе Fractan 4.4, авторства В.Сычева. Корректность работы программы подтверждается идентичностью расчетов, полученных ручным R\S-анализом и программным методом.
Программа Fractan работает под Виндовс 95\98\NT,МЕ занимает всего 460 кб и позволяет обрабатывать различные временные ряды в интервалах данных от 512 до 16384. При помощи программы можно вычислять показатель Херста, строить генератор В.Д.Поля, работать с функцией Вейерштрасса-Мандельброта, получать отображения Хенона, Лоренца, Ресслера, сохранять графики и использовать многие другие исследования. Скачать программу Fractan 4.4 можно бесплатно на сайте производителя impb. psn. ru.
Эффективность фрактального анализа зависит от умения правильно интерпретировать его сигналы в комбинации с другими индикаторами рынка (волны Эллиотта, уровни Фибоначчи).
Фрактальный анализ, книги о котором представлены рядом авторов: А. Алмазовым, Б.Мандельбротом, Б.Вильямсом и Э.Петерсом позволяет вникнуть в основы движения валютного рынка и остальных хаотичных процессов, трудно поддающихся точному анализу.
Ни один атом Вселенной не избегнет ощущений высшей разумной жизни. (Константин Циолковский)
В первых двух главах этой части мы познакомились с квантовым супом, а точнее цифровой пыльцой и кодировками - информационными символами или рунами, которые его структурируют. Немного отойдем от данной темы в сторону не менее интересной.
Одним из самых важных принципов в Мироздании является фрактальность, в которой Мироздание повторяет свои процессы на различных уровнях, используя специфические модели и шаблоны. Возьмем, например, открытую систему Земля. У неё, как и человека, тоже есть кровь - вода, есть легкие - деревья, и есть вены -реки. Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются макро загрязнения, и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора. Сама же Земля является носителем огромного количества маленьких открытых систем, называемых нами растениями, животными, насекомыми, рыбами и человеками, которые постоянно взаимодействуют между собой.
Сами человеки также организованы в системы - семьи, роды, нации, которые управляются сверх-системами (эгрегорами по религиозным, политическим, экономическим и т.д. принципам), и образуют дальнейшие иерархические уровни нашей цивилизации, на каждом из которых есть свои правила и механизмы взаимодействия.
Земное сознание является экспериментальным, также как и наши тела, души и многие виды животных. Большинство этих животных было занесено на землю различными архитекторами, а населяющие их души пришли с абсолютно разных концов гиперпространственных горизонтов для получения богатого земного опыта. Таких экспериментальных платформ как Земля существует не мало, но каждая из них уникальна, на каждой формируется свой особенный тип сознания.
Роль человека на земле, как и во многих других реальностях, заключается в том, чтобы развивать свой потенциал, расширяться, понижать , усложняя свой . Этим заняты практически все системы, обладающими потенциалом развития - от амеб до метавселенных. Все фрактально и все подобно.
На примере алгоритмов фракталы выглядят так:
3. Прецессия:
Возможно ли, что именно таким образом солнечные системы и галактики удерживаются вместе, а не разлетаются слишком быстро?
Более чем!
А если вспомнить, что и сами атомы обладают спином (кручением), то можно частично понять почему и они не разлетаются (в совокупности со стоячими волнами).
4. данный пример уже , но все-таки стоит его привести еще раз:
5. Также не забываем про феррофлюиды. Магнитные волны выстаивают четкие равномерные паттерны из частиц металла, растворенных в воде или масле:
Ничего не напоминает? А так:
Кстати, такой эксперимент можно поставить дома с использованием магнита и обычных чернил для принтера:
А какие фрактальные подобия в Творении знаете вы?)
Подобно тому как колебания являются одним из наиболее характерных и «вездесущих» процессов, встречающихся в природе при анализе движения отдельных тел или частиц, так волновые процессы берут на себя роль типичных явлений, когда мы имеем дело со средами. Задание состояния частицы может быть произведено с помощью некоторого конечномерного вектора
в фазовом пространстве. Состояние среды уже нельзя задать таким простым способом, и следует вводить некоторое количество полей
заданных в каждой точке пространства в момент времени Это обстоятельство порождает огромное разнообразие новых явлений. В этой главе мы рассмотрим лишь некоторые особенности в основном нелинейных периодических волн. Наша основная цель будет заключаться в выделении специфически нелинейных черт волновых процессов, обладающих той или иной степенью универсальности.
§ 1. Укручение волн
Задачи о возникновении и эволюции волн достаточно многочисленны и разнородны. Постараемся выделить наиболее характерные и удобные примеры, чтобы показать особенности нелинейной волновой динамики.
Бегущие волны. По-видимому, трудно найти более простой пример, который содержал бы столь значительное количество специфической для нелинейных волн информации, чем движение среды из невзаимодействующих частиц. Если обозначить через плотность частиц в точке х в момент времени то факт отсутствия потерь частиц или появления новых частиц имеет тривиальное формальное выражение:
Оно может быть записано более обстоятельно, если раскрыть смысл полной производной по времени:
где скорость среды
Она является функцией точки и времени.
Если то общее решение уравнения (1.2) представляется бегущей волной
и константа имеет смысл скорости волны. Начальное условие
выбирает определенный профиль волны который движется со скоростью вдоль без искажений (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Движение волнового профиля в линейном случае
Рис. 8.2. Укручение волны
В нелинейной среде уравнения (1.1) или (1.2) имеют более сложную структуру. Простейшая из нелинейностей связана с зависимостью скорости от плотности:
Уравнение (1.2) по-прежнему легко решается, так как оно первого порядка.. Уравнения характеристик
определяют решение при начальном условии (1.5) в виде
Выражение (1.7) называется простой волной или волной Римана (см. ). Это по-прежнему бегущая волна. Однако теперь профиль выражен неявно. Кроме того, скорость движения различных точек профиля различна. Она зависит от самого значения в этой точке. Это обстоятельство приводит к расползанию волнового профиля. Остановимся на этом явлении подробнее.
Рис. 8.3. Возникновение многопотоковости и обрушение волны
Опрокидывание фронта волны. Если то возникает укручение фронта волны (рис. 8.2), о котором мы уже упоминали в § 1 гл. 2. В реальных процессах укручение заканчивается появлением многопотоковых движений и опрокидыванием волны (рис. 8.3). Существует множество примеров опрокидывания волн, из которых, быть может, самым наглядным является образование барашков на поверхности моря при сильном разгоне волн ветром.
Формальное выражение для опрокидывания нетрудно получить из формулы для решения (1.7). Продифференцируем ее по х и по
где штрих обозначает дифференцирование по аргументу и, в частности, Отсюда
Формулы (1.8) дают ответ на вопрос о том, когда происходит опрокидывание.
Очевидное условие означает, согласно (1.5), что изначальный профиль волны неоднороден. Следующее условие, нам уже знакомо
и выражает тот факт, что задача нелинейна. Теперь остается последнее условие, определяющее момент времени когда знаменатель в (1.8) обращается в нуль:
В волнах сжатия и поэтому время существует, если Это как раз имеет место для профилей волн, приведенных на рис.
В частности, рассмотрим вместо уравнения (1.1) уравнение свободного движения несжимаемой среды:
Оно также имеет решение в виде бегущей волны
где функция определяет начальный профиль скорости:
По аналогии с получением формул (1.8) теперь из (1.2) имеем Тогда формула (1.9) для времени опрокидывания дает выражение
которое нами уже было получено совсем из других соображений (см. формулу (2.1.41)).
Выражения (1.9) и (1.12) так же, как и формулы (1.8), имеют вполне наглядный смысл. Опрокидывание сопровождается обращением в бесконечность производных и точно так же Это проявляется в том, что наклон профиля становится перпендикулярным к оси х. Первая малая область профиля, которая достигает такого положения, определяется, очевидно, областью, где максимальна производная начального состояния волны.
Итак, даже в отсутствие взаимодействий мы столкнулись с новым явлением - опрокидыванием, которое присуще только нелинейным задачам.
Роль диссипации. Уравнение Бюргерса. В действительности опрокидывание волны, подобное тому, что возникает на поверхности [воды при сильном разгоне, наблюдается далеко не всегда. Это происходит [из-за существования некоторых факторов, останавливающих процесс укручения фронта волны. Одним из них является вязкость.
Если уравнение (1.10) дополнить вязким членом, то оно примет вид
называемый уравнением Бюргерса, где -коэффициент вязкости. Следующие простые соображения показывают, как вязкость останавливает опрокидывание. Из формул (1.8) видно, что опрокидывание сопровождается обращением в бесконечность производных от профиля волны. То же самое относится и к профилю волны скорости (1.11). Если и волна еще не достигла границы опрокидывания, то ее фронт очень крут. По мере приближения крутизна фронта возрастает и, следовательно, увеличивается производная В результате даже при малых вязкостях член в правой части (1.13) станет большим и сравняется с нелинейным членом Возникает конкуренция двух противоположных процессов: укручения из-за нелинейности и затухания из-за вязкости. Как следствие конкуренции может возникнуть стационарное движение. Посмотрим теперь, как описанный процесс проявляется в формальном решении уравнения (1.13).
Достопримечательностью уравнения Бюргерса является существование точного решения, построенного Хопфом и Коулом . Сделаем замену переменных:
Тогда для получается уравнение диффузии (или теплопроводности):
Примем начальное условие при
Условие (1.16) означает для переменной следующее:
Мы будем также предполагать, что начальный профиль удовлетворяет условию
Теперь легко записать общее решение уравнения Бюргерса, так как известно общее решение уравнения теплопроводности:
Обозначим
Отсюда после подстановки (1.19) и (1.17) в (1.14) получаем окончательно
Выражение (1.20) позволяет получать произвольные решения уравнения Бюргерса, соответствующие различным начальным профилям волн, их взаимодействию и т. д. (см. ). Мы здесь остановимся на выяснении асимптотического вида решения (1.20) для больших при .
Обратим внимание на то, что уравнение (1.13) можно записать в дивергентной форме:
Поскольку предполагается, что и то интегрирование выражения (1.21) по от до дает
т. е. величина
Инвариант движения определяет асимптотическую форму профиля решения (1.20). Для того чтобы получить этот результат, следует провести несложные оценки.
Рассмотрим случай достаточно малых Это автоматически означает выход решения на стационарный профиль через большое время, что следует из структуры уравнения Бюргерса. Поэтому предел означает При малых интегралы в (1.20) можно вычислить методом перевала.. Точка перевала определяется из уравнения
Теперь для получается совсем простое выражение
так как экспоненты и предэкспоненты в (1.20) сократились. При отличные от нуля значения получаются только при достаточно больших значениях х.
Рис. 8.4. Асимптотическое решение уравнения Бюргерса в виде треугольной волны: -при -при конечных значениях
Поэтому практически во всей области, где профиль принимает ненулевые значения, имеет место асимптотическая форма решения в котором связаны согласно (1.21) соотношением
Это показывает, что мы получили простую волну, имеющую линейный профиль (1.22). Ее фронт стремится к укручению, однако оно не достигается из-за вязкости.
Нам остается определить границу решения (1.23), так как в подобной форме оно не приводит к конечному значению интеграла (1.22). Поэтому очевидно, что при больших некоторого должно быть Для определения величины воспользуемся формулой (1.22), подставив в нее
Значение интеграла на нижнем пределе не существенно, так как очень велико:
Отсюда видно, что
Полученное решение приведено на рис. 8.4. При конечных значениях вяз» кости имеется переходной слой с шириной, пропорциональной
Формулы (1.24), (1.25) показывают, что асимптотический профиль волны определяется только значением момента и не зависит при от формы начального профиля
Решение уравнения Бюргерса, в котором опрокидывание не происходит, является примером образования ударной волны. Действительно, в ударной волне могут существовать скачки плотности и скорости, нормальной к фронту волны . Это и происходит в данном случае.
На правах рукописи
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ
МИЛЛИМЕТРОВЫХ И САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН ФРАКТАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ПРИ МАЛЫХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
Специальность 01.04.03 – радиофизика
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2009
Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук
Институте радиотехники и электроники им. РАН, г. Москва
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени ».
Защита состоится «_11_» _февраля_ 2010 г. в _15_ ч. _00_ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», по адресу Московская область , г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».
Ученый секретарь диссертационного совета,
кандидат физико-математических наук
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Актуальность темы
При решении многих научных и практических задач дистанционного зондирования земной поверхности и радиолокации широко применяются наряду с оптическими и радиофизические методы наблюдений в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн – от дециметровых до миллиметровых (ММВ). Интерес к диапазону ММВ вызван целым рядом преимуществ, которые даёт его использование по сравнению с более длинноволновыми диапазонами. Это – увеличение разрешающей способности по углу, дальности и скорости при высокой помехоустойчивости к средствам радиопротиводействия, улучшение электромагнитной совместимости и скрытности работы систем, увеличение количества передаваемой информации вследствие более широкой полосы частот, высокая чувствительность процесса рассеяния к структуре и состоянию подстилающих покровов, меньшие габариты и масса аппаратуры. Заметим, что для различных радиотехнических систем отражение ММВ от земных покровов может рассматриваться или как пассивная помеха, или как источник полезной информации.
В настоящее время имеется два классических подхода к исследованию задач рассеяния на статистически неровной поверхности: метод малых возмущений (МВ) и приближение Кирхгофа (метод касательной плоскости (МКП)) . Эти методы относятся к двум предельным случаям очень мелких пологих неровностей или гладких и крупномасштабных неровностей соответственно. Естественным их обобщением является двухмасштабная модель рассеяния, т. е. совокупность мелкой ряби (расчет методом МВ) и крупных неровностей (расчет на основе МКП).
Таким образом, ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас, опираясь на результаты работ в ИРЭ им. РАН, можно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры, как параметра. Более того, учет фрактальности, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ – диапазоне.
Первые подходы к проблеме рассеяния радиоволн фрактальной поверхностью были изложены д. ф.-м. н. , начиная с 1997 г., на LII Научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва), и на Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн (г. Санкт - Петербург).
К настоящему времени большое количество работ иностранных авторов посвящено взаимодействию волн с фрактальными структурами. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей множества масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия “лучевая траектория” и “эффекты геометрической оптики”. Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят “топотезу” фрактальной хаотической поверхности; она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным.
С учетом всех особенностей в работах западных авторов приняты на сегодня две модели рассеяния: 1) - Модель с фрактальными высотами, 2) – Модель с фрактальными наклонами неровностей. Модель № 2 однократно дифференцируема и имеет наклон, изменяющийся непрерывно от точки к точке. Эта модель приводит к геометрической оптике, или к эффектам, описываемым с помощью понятия “луча”.
Рассеяние электромагнитных волн на шероховатых поверхностях детально исследовалось, например, в . В работе показано, что дифракция на фрактальных поверхностях принципиально отличается от дифракции на традиционных случайных поверхностях, а некоторые классические статистические параметры, такие как длина корреляции и среднеквадратичное отклонение, стремятся к бесконечности. Это объясняется самоподобием фрактальной поверхности. В работе была применена частотно-ограниченная функция Вейерштрасса, на которую налагалось меньше ограничений, чем на функции, изучаемые в . Предложенная функция обладала как свойством самоподобия, так и все-таки конечным числом производных на отдельно взятом рассматриваемом пространственном диапазоне.
Несмотря на то, что существует много работ, посвященных созданию и анализу хаотических поверхностей с фрактальной структурой, лишь в немногих из них рассматриваются двумерные фрактальные поверхности. В нескольких работах описывались (см. и ссылки в ней) волнистые поверхности, имеющие фрактальные свойства только в одном измерении. Модифицированная функция Вейерштрасса часто используется для моделирования двумерной фрактальной хаотической поверхности.
Анализ литературных источников показал, что тема диссертации является, несомненно, актуальной, а исследования в данном направлении проведены исключительно иностранными авторами.
Основная цель исследования
· Численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения Θ и использовании метода Кирхгофа.
· Анализ описания фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W (x ,y ) и переход к диапазонно ограниченной функции W н(x ,y ) для практических расчетов.
· Расчёт индикатрис рассеяния g
· Составление и анализ каталога характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см.
Научная новизна работы
Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики – исследование рассеяния радиоволн на естественных земных покровах с учётом их фрактальности. За последние 30 лет многочисленными группами исследователей в мире проанализированы неровности и рельефы естественных и искусственных поверхностей, в том числе, и земных покровов (первая работа появилась а 1978 г. . После открытия и научного обоснования фрактальности естественных покровов множество работ иностранных авторов было посвящено исключительно проблеме рассеяния волн. При этом данные о рассеянии ММВ фрактальными поверхностями отсутствуют. Таким образом, впервые проведены расчёты индикатрис рассеяния ММВ фрактальной поверхностью.
Практическая значимость работы
Практическая значимость работы связана с более точным описанием процессов рассеяния при учёте фрактальных характеристик земных покровов. Учёт фрактальности земных покровов позволяет более точно и доказательно интерпретировать экспериментальные данные по рассеянию радиоволн. Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению современных радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблем мониторинга сред на различных пространственно – временных масштабах.
Положения, выносимые на защиту
1. Численно решены задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения Θ и использовании метода Кирхгофа.
2. Показано, что наиболее удобным профилем в радиофизическом смысле фрактального рельефа является недифференцируемая функция Вейерштрасса W (x ,y ). Так как в реальных расчётах использование недифференцируемой функции не представляется возможным, было использовано приближение W (x ,y ) диапазонно ограниченной функцией W н(x ,y ).
3. Численный расчёт соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности.
4. Для широкого спектра различных фрактальных поверхностей численно рассчитаны индикатрисы рассеяния g (θ1, θ2) ММВ и СМВ. При значениях фрактальной размерности D , стремящейся к целочисленной, полученные значения приближаются к классическим.
5. Составлен обширный каталог разнообразных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см.
6. Фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена при помощи рассчитанных или измеренных характеристик рассеяния.
7. Физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры как параметра.
Апробация работы
Результаты работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени (Москва, ИРЭ им. РАН, 2006 и 2007 гг.); 5-я Международная научная конференция “Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент” (Казахстан, Астана, 15 – 17 июня 2006 г.); Четвертая Всероссийская конференция “Необратимые процессы в природе и технике” (Москва, МГТУ им. ,января 2007 г.); XI Международный молодежный форум “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке” (Харьков, 10 – 12 апреля 2007 г.); XIII Международная НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 17 – 19 апреля 2007 г.); XV Международная студенческая школа – семинар “Новые информационные технологии” (Крым, Судак,мая 2007 г.); Международная научная конференция “Излучение и рассеяние электромагнитных волн – ИРЭМВ-2007” (Таганрог, 25 – 30 июня 2007 г.); The Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (Edinburgh, UK,November 2007); XI Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО,мая 2008 г.); XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7 – 16 August 2008); VII международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», посв. 150-летию со дня рождения (Самара, 15 – 21 сентября 2008 г.); 9-я Международная НТК “Проблемы техники и технологий телекоммуникаций – ПТиТТ-2008”, посв. 100-летию со дня рождения академика и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 – 27 ноября 2008 г.); 3rd European Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (Berlin, Germany,March 2009); XV Международная НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 14 – 16 апреля 2009 г.); 2nd Int. Conf. (CHAOS’ 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, 1 - 5 June 2009).
Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с известными в литературе данными, а также согласованностью результатов численного моделирования и экспериментальных исследований с результатами теоретического анализа.
· применение фрактальных методов для решения задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями при малых углах падения Θ;
· численное получение соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности с рельефом в виде недифференцируемой функцией Вейерштрасса;
· численный расчет индикатрис рассеяния g (θ1, θ2) на длинах волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.
Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка. Она изложена на 110 страницах, включая 109 рисунков и библиографию из 186 наименований.
В начале диссертации приведён обширный литературный обзор по существующим теориям рассеяния на статистически шероховатых поверхностях.
В качестве традиционных математических моделей неровных поверхностей ранее раздельно применялись детерминированные и случайные функции . Развитие фрактальной геометрии даёт новое средство для систематического исследования неровных структур, так как фракталы учитывают различные пространственные масштабы и могут быть непосредственно использованы при описании и детерминированных, и случайных функций или их комбинаций.
Физика волнового взаимодействия с периодической средой или структурой хорошо описывается брэгговским условием в виде закона сохранения момента между волновыми векторами падающей и дифрагированной волны, с учётом пространственного волнового вектора структурных гармоник. Рассеивающая поверхность моделируется диапазонно ограниченной непрерывной фрактальной функцией неровностей f (x ), являющейся модифицированной функцией Вейерштрасса W (t ), свойства которой подробно исследованы в . Данная функция имеет конечный диапазон пространственных частот и проявляет свойство самоподобия в пределах конечного диапазона разрешения:
(1)
где С – ; N – число гармоник (тонов); - коэффициент масштаба неровностей (0 < < 1); K – основное пространственное волновое число; b > 1 – параметр пространственно-частотного масштабирования; - произвольная фаза.
Коэффициент контроля амплитуды
(2)
выбран так, что функция f (x ) имеет среднеквадратичное отклонение σ = 1.
Для функции (1) можно ввести несколько фрактальных размерностей, потому что она самоафинна. В общем случае фрактальная размерность функции Вейерштрасса
Для точного описания формы неровностей в используется фрактальная размерность в виде:
При D = 1 имеем гладкую периодическую кривую. С увеличением D (D ≤ 2) получаем различные хаотические кривые.
Геометрия рассеяния падающей плоской волны на одномерной неровной, идеально проводящей фрактальной вдоль оси x поверхности представлена на рис. 1. Индексы i и s относятся к падающей и рассеянной волнам с волновыми векторами k i и k s , соответственно. Одномерная квазипериодическая поверхность описывается уравнением
. (4)
Здесь параметр h контролирует среднеквадратическое значение неровностей.
Далее мы будем рассматривать подход на основе приближения Кирхгофа. В методе Кирхгофа используется крупномасштабность плавность пологость . Здесь ρ – радиус корреляции неровностей; 
– локальный радиус кривизны, – среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей (штрихи означают порядок производной). В общем случае величина D
определяет угловое распределение энергии. Энергия рассеянного поля концентрируется в зеркальном направлении при малых значениях размерности D
и диффузно распределена для больших значений D
.
Пространственные индикатрисы рассеяния, или угловые распределения характеристик рассеянного поля от фрактальных поверхностей, в настоящее время исследованы совершенно недостаточно. Известные экспериментальные и теоретические исследования с использованием различных фрактальных моделей проводились ранее и приведены в работе (см. также ссылки в ней).
Моделирование фрактальных поверхностей
При моделировании использовалась диапазонно ограниченная фрактальная функция с нулевым средним, записываемая в виде:
Коэффициент контроля амплитуды С , определяемый с помощью (2), выразим через фрактальную размерность D следующим образом:
(8)
Очевидно, что в (7) при необходимости могут быть использованы и другие периодические функции.
Коэффициент контроля амплитуды (8) выбран так, чтобы имела среднеквадратичное отклонение σ. С увеличением частоты периодические функции (7) описывают всё более тонкую структуру неровностей. Самоподобие функции демонстрируется соотношением 
, которое означает, что кривая выглядит подобной оригиналу, когда горизонтальная ось масштабируется коэффициентом b
, а вертикальная ось – коэффициентом
Взаимосвязь статистических и фрактальных параметров
Из формулы (7) следует, что профиль неровной поверхности определяется параметрами σ, D , b , K , N . Традиционными параметрами при моделировании случайной поверхности являются: σ – среднеквадратичное значение высоты неровностей; ρ – радиус их корреляции; - среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей .
Для фрактальной модели для σ = 1 значение находится через среднеквадратичное значение первой производной от функции (7). В результате:
Из формулы (9) следует, что при D = 1 или N = 1. Для типового примера
D
= 1,5 при и N
= 6 имеем 
.
Радиус корреляции ρ исследуемой модели находится с помощью коэффициента автокорреляции ρ(τ) фрактальной функции (7), который имеет вид
(10)
Из (10) следует, что коэффициент автокорреляции ρ(τ) не зависит от высоты σ неровностей. Радиус корреляции ρ определим как первый корень уравнения при увеличении τ от нуля. Радиус корреляции ρ уменьшается с ростом D . Таким образом, неровности фрактальной модели определяются фрактальной размерностью D , хотя среднеквадратичная величина их есть σ. Фрактальная поверхность может быть точно определена и легко видоизменяться при варьировании параметров K , b , N , D . Способность быстрого контроля поверхности на основе реализаций функции (7) с помощью её параметров делает такую фрактальную модель полезной при исследовании рассеяния волн земными покровами.
Индикатрисы рассеяния
Рассмотрим плоскую волну единичной амплитуды с волновым вектором ki , падающую на одномерную неровную поверхность, которая характеризуется фрактальной функцией , простирающейся от x = – L до x = L (см. рис. 1). Эффекты затенения не учитываются. В приближении Кирхгофа поле рассеяния на расстоянии от источника в плоскости записывается в виде
Для упрощения расчётов рассматривается рассеяние от идеально проводящей поверхности, когда френелевы коэффициенты отражения V становятся равными
(12)
где индексы “+” и ”–” означают поляризацию, соответственно параллельную и перпендикулярную плоскости падения.
Для гладкой идеально проводящей поверхности поле рассеяния при горизонтальной поляризации в направлении зеркального отражения () имеет вид После несложных, но громоздких выкладок, вводя индикатрису рассеяния g , получим:
(13)
Рассмотрим сначала специальный случай, когда Тогда из формулы (13) следует, что
, (14)
и не является функцией от b и φn . Учитывая аппроксимацию
(15)
при малых x (малых k σ), находим следующее приближение формулы (14):
Результат (16) показывает, что при малых k σ интенсивность рассеяния в зеркальном направлении определяется только среднеквадратичной высотой неровностей, независимо от того, фрактальная поверхность или нет. Фрактальная функция (7) является результатом суммирования N периодических синусоид. Радиоволна действует как измерительная линейка, выделяя пространственные частоты посредством брэгговских условий. В общем случае
(17)
где – волновой вектор в направлении рассеяния; – волновой вектор в направлении зеркального рассеяния; – пространственные волновые векторы структурных гармоник; – целые числа.
Для фрактальной функции (7) имеем . Таким образом, падающая волна будет взаимодействовать с различными гармониками рассеивающей структуры. Направление рассеяния каждого лепестка зависит от пространственной частоты гармоники β, а интенсивность определяется фрактальной размерностью поверхности D , которая регулирует амплитуду каждой гармоники. Высшие пространственные частоты как бы связывают угловое распределение рассеяния с большим отклонением от зеркального направления.
Рассеяние волн ограниченной фрактальной площадью
Изменение характеристик рассеяния при облучении поверхностей различных размеров представляет интерес в практических задачах радиолокации и дистанционного зондирования. Размер облучаемой площадки определяет ширину индикатрис рассеяния. Для случая рассеяния фрактальной поверхностью не существует качественного изменения, если размеры площадки больше основного пространственного периода 
Чем меньше размер площадки, тем меньше информации о неровностях будут давать характеристики рассеяния.
Для установления связи фрактальной размерности поверхности с интенсивностью боковых лепестков рассматриваются зависимости коэффициентов рассеяния от аргумента и рассчитывается наклон огибающей. Основная огибающая обусловлена конечным размером площадок и связывает основной лепесток с самым крайним боковым. Её наклон всегда почти постоянен при изменении фрактальной размерности.
Огибающая, связывающая боковые лепестки, определяется пространственными гармониками, и её наклон монотонно изменяется с изменением фрактальной размерности. Очень важно, что наклоны дифракционных пиков позволяют дистанционно измерить неровности или размерности D поверхности.
где – константа, обеспечивающая единичную нормировку; – параметр пространственно-частотного масштабирования; D – фрактальная размерность (2<D <3); K – основное пространственное волновое число; N и M – число гармоник; – произвольная фаза, распределенная равномерно в интервале .
Данная функция (18) является комбинацией случайной структуры и детерминированного периода. Она анизотропна в двух направлениях, если числа гармоник не очень велики. Она имеет производные и в то же время – самоподобна. Поверхность на ее основе имеет много масштабов, а шероховатость может изменяться в зависимости от рассматриваемого масштаба. Так как естественные поверхности не являются чисто случайными или чисто периодическими и часто анизотропны, то предложенная выше функция является хорошим приближением для описания естественных поверхностей. На рис. 2 приведены примеры диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса для различных масштабов. Важно отметить, что функция (18) описывает математические фракталы только при стремлении M и N к бесконечности.
|
|
|
|
|
a |
b |
c |
|
Рис. 2. W (x ,y ) при (a ) - N = 2, M = 3, D = 2.01, q = 1.01; (b ) - N = 5, M = 5, D = 2.5, q = 3; (c ) - N = 10, M = 10, D = 2.99, q = 7. По осям: 1 отн. ед. = 80 см |
Такие параметры, как интервал корреляции Γ , среднеквадратичное отклонение и коэффициент пространственной автокорреляции ρ(τ) традиционно принято использовать для численного описания шероховатой поверхности. В работе продемонстрировано, как эти статистические параметры можно использовать для оценки влияния фрактальной размерности D и других параметров на шероховатость поверхности. Приведён вывод выражения для усредненного интервала корреляции :
На рис. 3 и 4 показаны зависимости от q и D соответственно.
С увеличением фрактальной размерности D поверхности усреднённый интервал корреляцииуменьшается более быстро для тех же самых изменений параметра пространственно-частотного масштабирования q . Величинамонотонно спадает с возрастанием значения D ; однако не меняется при q = 1,01. Следовательно, средний интервал корреляции чувствителен к фрактальной размерности D , за исключением случаев, когда . Эти результаты означают то, что величина неровностей фрактальной поверхности в основном управляется величиной D .
Для расчёта поля рассеяния и индикатрис рассеяния на построенных поверхностях было использовано приближение Кирхгофа. Приведён вывод выражения для индикатрисы рассеяния по усреднённой интенсивности:
. (20)
Автором создана обширная база данных различных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трехмерных индикатрис рассеяния и их сечений, рассчитанных для длин волн мм, мм и см при разных значениях фрактальной размерности D и изменяющейся геометрии рассеяния соответственно (рис.5).
На основе проведённых расчетов были сделаны следующие выводы. При значениях D , мало отличающихся от целочисленных, основная доля энергии рассеивается в зеркальном направлении. Боковые лепестки образуются из-за брэгговского рассеяния. С увеличением фрактальной размерности D поверхности рассеяния возрастает число боковых лепестков и их интенсивность. Угловой диапазон боковых лепестков также расширяется с увеличением D , когда высокие пространственные частоты начинают играть существенную роль. В случае малых D , классические и фрактальные методы расчета полей рассеяния, совпадают. Таким образом, фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена из рассчитанных или измеренных характеристик поля рассеяния. На практике размеры облучаемой площадки должны быть, по крайней мере, в 2 раза больше основного периода структуры поверхности, чтобы информация о ее фрактальных параметрах содержалась в характеристиках рассеяния.
На основе функции Вейерштрасса для одномерной фрактальной рассеивающей поверхности автор рассчитал зависимости модуля рассеянного поля от фрактальной размерности поверхности D и от угла падения (рис. 6 и рис. 7). Чем больше фрактальная размерность, тем выше абсолютное значение поля рассеяния. Данное явление можно объяснить увеличивающимся вкладом вторичного рассеяния на мелких неровностях по сравнению с менее шероховатой поверхностью. При изменении угла падения поле рассеяния меняется спонтанно, что объясняется хаотической структурой рассеивающей поверхности.
Дальнейшие исследования рассеяния волн на фракталах будут продолжены в рамках расчёта частотных функций когерентности или полосы когерентности Δf c для радиолокационного фрактального канала зондирования.
В первой главе рассмотрено развитие выбранного научного направления, а также его современный уровень и проблемы, которые стоят перед фрактальной радиофизикой. Приведён обзор существующих работ по рассеянию СМВ и ММВ радиоволн на фрактальных поверхностях. Поставлены цели работы.
Вторая глава посвящена моделированию фрактальной поверхности с помощью двумерной диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса. В первом разделе приводится сама функция поверхности и её графические реализации, а во втором разделе устанавливается связь классических статистических параметров поверхности с фрактальными параметрами.
В третьей главе рассматривается рассеяние радиоволн миллиметрового и сантиметрового диапазонов на построенных фрактальных поверхностях. Для расчётов параметров рассеяния используется приближение Кирхгофа. В первом разделе приведена модель рассеяния и общие формулы для расчёта поля рассеяния. Во втором разделе приводится формула для усреднённого поля рассеяния. В третьем разделе описывается индикатриса рассеяния по полю. В четвёртом разделе приводятся соотношения для индикатрис рассеяния по усреднённой интенсивности. В пятом разделе обсуждается приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране. В шестом разделе приведены результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ – диапазоне.
Четвёртая глава посвящена исследованию поведения поля рассеяния радиоволн на одномерных фрактальных поверхностях, а также здесь вводится понятие частотной функции когерентности.
В Заключении приведены основные результаты работы и показано их соответствие поставленным целям.
В Приложении размещены обширные примеры рассеивающих фрактальных поверхностей, индикатрисы рассеяния ММВ и СМВ.
Основные результаты работы состоят в следующем:
1. Решена численно задача рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения Θ и использовании метода Кирхгофа.
2. Исследовано описание рельефа фрактальной диапазонно ограниченной функцией Wн(x ,y ); установлена связь между классическими статистическими параметрами случайной поверхности и её фрактальной размерностью D .
3. Разработана программа и рассчитаны индикатрисы рассеяния g (θ1, θ2) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.
4. Составлен и проанализирован каталог характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн λ = 2,2 мм; λ = 8,6 мм и λ = 3,0 см.
5. Показано, что при значениях фрактальной размерности D , стремящейся к целочисленной, полученные значения интенсивности рассеяния приближаются к классическим результатам.
Цитируемая литература
1. Басс Ф .Г ., Фукс И .М . Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. – М.: Наука, 1972. – 424 с.
2. Рытов С .М ., Кравцов Ю .А ., Татарский В .И . Введение в статистическую радиофизику: В 2 ч. Случайные поля. – М.: Наука, 1978. – Ч. П. – 464 с.
3. Распространение и рассеяние волн в случайно – неоднородных средах. Т. 2.- М.: Мир, 198с.
4. Berry M .V . Difractals // J. Phys. A. 1979. V.12, № 6. P. 781 – 797.
5. Lin N., Lee H. P., Lim S. P., Lee K. S. Wave Scattering from Fractal Surfaces // Journal of Modern Optics. 1995. V. 42, № 1. P.
6. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп.- М.: Университетская книга, 200с.
7. Sayles R. S, Thomas T. R.; Berry M. V., Hannay J. H .// Nature. 1978 V.271, № 000; V. 273, № 000.
Публикации
Статьи в научных журналах:
1. Моделирование фрактальных недифференцируемых поверхностей и процессов рассеяния ими электромагнитных волн // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 5. С.
2. , Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 1. С. 3 – 36.
3. , Зависимость процессов рассеяния волн от статистических параметров классических и фрактальных шероховатых поверхностей // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 4. С. 231 – 233.
4. , Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Динамика сложных систем. 2009. Т. 3, №1. С.25-29.
Труды конференций:
1. , Индикатрисы рассеяния электромагнитных волн фрактальной поверхностью, синтезированной на основе модификаций недифференцируемой функции Вейерштрасса // Труды Четвертой Всероссийской конф. “Необратимые процессы в природе и технике” января 2007 г.).- М.: МГТУ им. , Физический институт им. РАН, 2007. Часть I. С. 40 – 43.
2. , Синтез фрактальных поверхностей на основе приближений недифференцируемой функции Вейерштрасса и фрактальные индикатрисы рассеяния электромагнитного излучения // Тез. докл. XI Междунар. молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке” (Харьков, 10 – 12 апреля 2007 г.).- Харьков: Изд. ХНУРЭ, 2007. Часть 1. С. 245 – 246.
3. , Об индикатрисах рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн стохастической фрактальной анизотропной поверхностью // Сб. докладов XIII Междунар. НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 17 – 19 апреля 2007 г.).- Воронеж: НПФ “Саквоее”, 2007. Т. III. С. 1770 – 1833.
4. On the Indicatrixes of Wave Scattering from the Random Fractal Anisotropic Surface // Proc. XIII Int. Scientific – Research Conf. “Radiolocation, Navigation, Communication” (Russia, Voronezh, 17 – 19 April 2007).- Voronezh: NPF “Sakvoee”, 2007. P. 86 – 147.
5. , Рассеяние радиоволн фрактальными поверхностями, синтезированными на основе недифференцируемых функций с различной дробной размерностью // Тез. докл. XV Междунар. студенческой школы - семинара“Новые информационные технологии” (Крым, Судак,мая 2007 г.).- М.: МИЭМ, 2007. С. 98 – 99.
6. , О статистических свойствах поля, рассеянного фрактальной шероховатой поверхностью //Труды Междунар. науч. конф. «Излучение и рассеяние электромагнитных волн – ИРЭМВ-2007» (Таганрог, 25 – 30 июня 2007 г.).- Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2007. Т. 1. С. 435 – 440.
7. Potapov A. A., Laktyunkin A. V. Microwaves Scattering on Fractal Surfaces as a New Line of Investigations // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. MoPP.016. pdf. 6 pp.
8. Potapov A. A., Matveev E. N., Potapov V. A., Laktyunkin A. V. Mathematical and Physics Modelling of Fractal Antennas and fractal frequency Selective Surfaces and Volumes for the Fractal Radio Systems // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. ThPA.031. pdf. 6 pp.
9. , Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО,мая 2008 г.).- М.: Изд. МГУ, 2008. Ч. 3. С. 68 – 70.
10. Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Proc. XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7 – 16 August 2008).- Chicago: University of Illinois at Chicago, 2008. BP16.1(228). pdf. 4 pp. (http://ursi. org/Chicago08/Index%20GA08.htm).
11. , Рассеяние волн на фракталах // Тез. докл. VII междунар. НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», посв. 150-летию со дня рождения (Самара, 15 – 21 сентября 2008 г.). – Самара: Гос. ун-т, 2008. С. 304 – 307.
12. , Зависимость модуля поля рассеяния радиоволн от параметров фрактальной поверхности // Тез. докл. 9-й Междунар. НТК “Проблемы техники и технологий телекоммуникаций – ПТиТТ-2008”, посв. 100-летию со дня рождения академика и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 – 27 ноября 2008 г.).- Казань: Изд-во КГТУ им. , 2008. С. 389 – 392.
13. Laktyunkin A. V., Potapov A. A. Radio Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Program 3rd European Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2March 2009, Berlin, Germany).- Berlin: EurAAP, 2009. P. 24. (http:///conferences_en/eucap2009/ ).
14. , Частотные и энергетические характеристики радиоволн, рассеянных на фрактальных поверхностях // Сб. докладов XV Междунар. НТК “Радиолокация, навигация, связь” (Воронеж, 14 – 16 апреля 2009 г.).- Воронеж: НПФ “Саквоее”, 2009. Т. I. С. 579 – 590.
15. Laktyunkin A. V., Potapov A. A. Frequency and Spatial Features of Waves Scattering on Fractals // Book of Abstracts 2nd Int. Conf. (CHAOS’ 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and ApplicationsJune 2009, Chania, Crete, Greece).- Chania: National and Kapodistrian University, 2009. P. 40. (http://www. chaos2009.net/programabstracts. html).
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ
МИЛЛИМЕТРОВЫХ И САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН
ФРАКТАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ПРИ
МАЛЫХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ
Подписано в печать _______ Формат 60 × 84.
Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ___
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9