Если прямые лежат в перпендикулярных плоскостях. Перпендикулярность прямых в пространстве. Визуальный гид (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .

Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. Теория

Видеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача

Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости

Давайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.

Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.

Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.

Свойства:

Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.

Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.

Наклонная

Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .

Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.

На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.

Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.

АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.

Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .

В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.

Теорема о трёх перпендикулярах

Определение. Прямая пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а – прямая перпендикулярная прямым b и с , принадлежащим плоскости a . А – точка пересечения прямых. В плоскости a через точку А проведем прямую d , не совпадающую с прямыми b и с . Теперь в плоскости a проведем прямую k , пересекающую прямые d и с и не проходящую через точку А. Точки пересечения соответственно D, В и С. Отложим на прямой а в разные стороны от точки А равные отрезки АА 1 и АА 2 . Треугольник А 1 СА 2 равнобедренный, т.к. высота АС является так же и медианой (признак 1), т.е. А 1 С=СА 2 . Подобно в треугольнике А 1 ВА 2 равны стороны А 1 В и ВА 2 . Следолвательно, треугольники А 1 ВС и А 2 ВС равны по третьему признаку Поэтому равны углы А 1 ВD и А 2 ВD. Значит, равны и треугольники А 1 ВD и А 2 ВD по первому признаку . Поэтому А 1 D и А 2 D. Отсюда треугольник А 1 DА 2 равнобедренный по определению. В равнобедренном треугольнике А 1 D А 2 D А – медиана (по построению), а значит и высота, то есть угол А 1 АD прямой, а значит прямая а перпендикулярна прямой d . Таким образом можно доказать, что прямая а перпендикулярна любой прямой проходящей через точку А и принадлежащей плоскости a . Из определения следует, что прямая а перпендикулярна плоскости a .

Построение прямой перпендикулярной данной плоскости из точки, взятой вне этой плоскости.
Пусть a - плоскость, А – точка, из которой надо опустить перпендикуляр. В плоскости проведем некоторую прямую а . Через точку А и прямую а проведем плоскость b (прямая и точка определяют плоскость, причем только одну). В плоскости b из точки А опустим на прямую а перпендикуляр АВ. Из точки В в плоскости a восстановим перпендикуляр и обозначим прямую, на которой лежит этот перпендикуляр за с . Через отрезок АВ и прямую с проведем плоскость g (две пересекающиеся прямые определяют плоскость, причем только одну). В плоскости g из точки А опустим на прямую с перпендикуляр АС. Докажем, что отрезок АС – перпендикуляр к плоскости b . Доказательство. Прямая а перпендикулярна прямым с и АВ (по построению), а значит она перпендикулярна и самой плоскости g , в которой лежат эти две пересекающиеся прямые (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). А раз она перпендикулярна этой плоскости, то она перпендикулярна и любой прямой в этой плоскости, значит прямая а перпендикулярна АС. Прямая АС перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости α : с (по построению) и а (по доказанному), значит она перпендикулярна плоскости α (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Теорема 1 . Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b - перпендикулярные прямые, а 1 и b 1 - параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а 1 и b 1 перпендикулярны.
Если прямые а , b , а 1 и b 1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости α , а прямые а 1 и b 1 - в некоторой плоскости β . По признаку параллельности плоскостей плоскости α и β параллельны. Пусть С - точка пересечения прямых а и b , а С 1 - пересечения прямых а 1 и b 1 . Проведем в плоскости параллельных прямых а и а а и а 1 в точках А и А 1 . В плоскости параллельных прямых b и b 1 прямую, параллельную прямой СС 1 . Она пересечет прямые b и b 1 в точках B и B 1 .
Четырехугольники САА 1 С 1 и СВВ 1 С 1 - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА 1 и ВВ 1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС 1 .Таким образом четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 . А она пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямые АВ и А 1 В 1 .
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 . По третьему признаку равенства треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Итак, угол А 1 С 1 В 1 , равный углу АСВ, прямой, т.е. прямые а 1 и b 1 перпендикулярны. Ч.т.д.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Теорема 2 . Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а 1 и а 2 - две параллельные прямые и α - плоскость, перпендикулярна прямой а 1 . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а 2 .
Проведем через точку А 2 пересечения прямой а 2 с плоскостью α произвольную прямую с 2 в плоскости α . Проведем в плоскости α через точку А 1 пересечения прямой а 1 с плоскостью α прямую с 1 , параллельную прямой с 2 . Так как прямая а 1 перпендикулярна плоскости α , то прямые а 1 и с 1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а 2 и с 2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а 2 перпендикулярна любой прямой с 2 в плоскости α . А это значит, что прямая а 2 перпендикулярна плоскости α . Теорема доказана.

Теорема 3 . Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Имеем плоскость α и две перпендикулярные ей прямые а и b . Докажем, что а || b .
Через точки пересечения прямыми плоскости проведем прямую с . По признаку получаем а ^ c и b ^ c . Через прямые а и b проведем плоскость (две параллельные прямые определяют плоскость и притом только одну). В этой плоскости мы имеем два параллельные прямые а и b и секущую с . Если сумма внутренних односторонних углов равна 180 о, то прямые параллельны. У нас как раз такой случай - два прямых угла. Поэтому а || b .

Перпендикулярность прямой и плоскости.

1. Перпендикулярные прямые в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между прямыми равен 90°.
Обозначение перпендикулярности прямых а и b: a⊥b

Перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися.

Лемма перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Обратите внимание, что следующее утверждение планиметрии в стереометрии не действует:
Если две прямые перпендикулярны к третьей, то они параллельны.

На рисунке видно, что две прямые a и b перпендикулярны прямой с , но не параллельны .

2.Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Обозначение перпендикулярности прямой и плоскости: a⊥ γ.

На рисунке прямая а перпендикулярна плоскости γ. Из определения следует, что прямая a перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.