1. Наименьшее число ребер имеет тетраэдр - 6.
2. Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?
(n - 2) - угольник.
3. Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
Да, является.
4. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
В прямой призме.
5. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?
Нет, она может быть и не прямой.
6. Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
Да, если эта грань перпендикулярна основаниям.
7. Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?
а) да. б) нет.
8. Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?
По теореме п. 27 получаем, что боковые поверхности относятся, как 5: 3
9. Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?
10. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
11. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
Нет, иначе бы через вершину пирамиды проходили бы как минимум две прямые, перпендикулярные основаниям.
12. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
Да (рис 183).
Определение 1. Призматическая поверхность
Теорема 1. О параллельных сечениях призматической поверхности
Определение 2. Перпендикулярное сечение призматической поверхности
Определение 3. Призма
Определение 4. Высота призмы
Определение 5. Прямая призма
Теорема 2. Площадь боковой поверхности призмы
Параллелепипед :
Определение 6. Параллелепипед
Теорема 3. О пересечении диагоналях параллелепипеда
Определение 7. Прямой параллелепипед
Определение 8. Прямоугольный параллелепипед
Определение 9. Измерения параллелепипеда
Определение 10. Куб
Определение 11. Ромбоэдр
Теорема 4. О диагоналях прямоугольного параллелепипеда
Теорема 5. Объем призмы
Теорема 6. Объем прямой призмы
Теорема 7. Объем прямоугольного параллелепипеда
Призмой
называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Грани, отличные от оснований, называются боковыми
.
Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призмы
, концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами
называются ребра, не принадлежащие основаниям. Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы
, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Высотой призмы
называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания или длина этого перпендикуляра.
Прямой призмой
называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Правильной
называется прямая призма (Рис.3), в основании которой лежит правильный многоугольник.
Обозначения:
l - боковое ребро;
P - периметр основания;
S o - площадь основания;
H - высота;
P ^
- периметр перпендикулярного сечения;
S б - площадь боковой поверхности;
V - объем;
S п - площадь полной поверхности призмы.
|
V = SH |
*При этом предполагается, что каждые две последовательные плоскости пересекаются и что последняя плоскость пересекает первую
Теорема 1 . Сечения призматической поверхности плоскостями, параллельными между собой (но не параллельными её рёбрам), представляют собой равные многоугольники.
Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - сечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Чтобы убедиться, что эти два многоугольника равны, достаточно показать, что треугольники ABC и А"В"С" равны и имеют одинаковое направление вращения и что то же имеет место и для треугольников ABD и A"B"D", ABE и А"В"Е". Но соответственные стороны этих треугольников параллельны (например АС параллельно А"С") как линии пересечения некоторой плоскости с двумя параллельными плоскостями; отсюда следует, что эти стороны равны (например АС равно А"С") как противоположные стороны параллелограмма и что углы, образованные этими сторонами, равны и имеют одинаковое направление.
Определение 2 . Перпендикулярным сечением призматической поверхности называется сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к её рёбрам. На основании предыдущей теоремы все перпендикулярные сечения одной и той же призматической поверхности будут равными многоугольниками.
Определение 3
. Призмой называется многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя плоскостями, параллельными между собой (но непараллельными рёбрам призматической поверхности)
Грани, лежащие в этих последних плоскостях, называются основаниями призмы
; грани, принадлежащие призматической поверхности, - боковыми гранями
; рёбра призматической поверхности - боковыми рёбрами призмы
. В силу предыдущей теоремы, основания призмы - равные многоугольники
. Все боковые грани призмы - параллелограммы
; все боковые рёбра равны между собой.
Очевидно, что если дано основание призмы ABCDE и одно из рёбер АА" по величине и по направлению, то можно построить призму, проводя рёбра ВВ", СС", .., равные и параллельные ребру АА".
Определение 4 . Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований (НH").
Определение 5
. Призма называется прямой, если её основаниями служат перпендикулярные сечения призматической поверхности.
В этом случае высотой призмы служит, конечно, её боковое ребро
; боковые грани будут прямоугольниками
.
Призмы можно классифицировать по числу боковых граней, равному числу сторон многоугольника, служащего её основанием. Таким образом, призмы могут быть треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д.
Теорема 2
. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.
Пусть ABCDEA"B"C"D"E" - данная призма и abcde - её перпендикулярное сечение, так что отрезки ab, bc, .. перпендикулярны к её боковым ребрам. Грань АВА"В" является параллелограммом; его площадь равна произведению основания АА" на высоту, которая совпадает с аb; площадь грани ВСВ"С" равна произведению основания ВВ" на высоту bc и т. д. Следовательно, боковая поверхность (т. е. сумма площадей боковых граней) равна произведению бокового ребра, иначе говоря, общей длины отрезков АА", ВВ", .., на сумму ab+bc+cd+de+еа.
Лекция: Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма
Призма
Если Вы вместе с нами выучили плоские фигуры из прошлых вопросов, значит, полностью готовы к изучению объемных фигур. Первое объемное тело, которое мы выучим, будет призма.
Призма – это объемное тело, которое имеет большое количество граней.
Данная фигура имеет в основаниях два многоугольника, которые расположены в параллельных плоскостях, а все боковые грани имеют форму параллелограмма.
Рис 1. Рис. 2
Итак, давайте разберемся, из чего состоит призма. Для этого обратите внимание на Рис.1
Как уже говорилось ранее, у призмы есть два основания, которые параллельны друг другу – это пятиугольники ABCEF и GMNJK. Более того, данные многоугольники равны между собой.
Все остальные грани призмы называются боковыми гранями – они состоят из параллелограммов. Например, BMNC, AGKF, FKJE и т.д.
Общая поверхность всех боковых граней называется боковой поверхностью .
Каждая пара соседних граней имеет общую сторону. Такая общая сторона называется ребром. Например МВ, СЕ, АВ и т.д.
Если верхнее и нижнее основание призмы соединить перпендикуляром, то он будет называться высотой призмы. На рисунке высота отмечена, как прямая ОО 1 .
Существует две основных разновидности призмы: наклонная и прямая.
Если боковые ребра призмы не являются перпендикулярными к основаниям, то такая призма называется наклонной .
Если все ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то такая призма называется прямой .
Если в основаниях призмы лежат правильные многоугольники (те, у которых стороны равны), то такая призма называется правильной .
Если основания у призмы не параллельны друг другу, то такая призма будет называться усеченной.
Её Вы можете наблюдать на Рис.2
Формулы для нахождения объема, площади призмы
Существует три основных формулы нахождения объема. Отличаются они друг от друга применением:
Аналогичные формулы для нахождения площади поверхности призмы:
Многогранники
Основным объектом изучения стереометрии являются пространственные тела. Тело представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью.
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называется ребрами многогранника , а вершины – вершинами многогранника .
Например, куб состоит из шести квадратов, являющихся его гранями. Он содержит 12 ребер (стороны квадратов) и 8 вершин (вершины квадратов).
Простейшими многогранниками являются призмы и пирамиды, изучением которых и займемся далее.
Призма
Определение и свойства призмы
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников, – боковыми ребрами призмы .
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований (). Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы (). Призма называется n-угольной , если в ее основании лежит n-угольник.
Любая призма обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания призмы совмещаются параллельным переносом:
1. Основания призмы равны.
2. Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности . Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов (это следует из свойств призмы). Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Прямая призма
Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной .
Гранями прямой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковым граням.
Полной поверхностью призмы называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.
Правильной призмой называется прямая призма с правильным многоугольником в основании.
Теорема 13.1 . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра на высоту призмы (или, что то же самое, на боковое ребро).
Доказательство. Боковые грани прямой призмы есть прямоугольники, основания которых являются сторонами многоугольников в основаниях призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Тогда по определению площадь боковой поверхности:
,
где – периметр основания прямой призмы.
Параллелепипед
Если в основаниях призмы лежат параллелограммы, то она называется параллелепипедом . У параллелепипеда все грани – параллелограммы. При этом противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Теорема 13.2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Рассмотрим две произвольные диагонали, например, и . Т.к. гранями параллелепипеда являются параллелограммы, то и , а значит по Т о двух прямых параллельных третьей . Кроме того это означает, что прямые и лежат в одной плоскости (плоскости ). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм, а по свойству параллелограмма его диагонали и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Таких размеров три (ширина, высота, длина).
Теорема 13.3
. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений 
(доказывается с помощью двукратного применения Т Пифагора).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Задачи
13.1Сколько диагоналей имеет n -угольная призма
13.2В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37, 13 и 40. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
13.3Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найти угол наклона этой плоскости к основанию призмы.