Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .
4. Экстремумы
Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).
Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.
Х max – точка максимума
У max – максимум
Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).
Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.
X min – точка минимума
Y min – минимум
X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"
- Свойства функций - Числовые функции 9 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
- Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1
- Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс
Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1
- Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 24
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
Решение: область определения функции находится из условия
Русская гимназия
КОНСПЕКТ
Выполнил
ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей
Руководитель
учитель Математики
Юлина О.А.
Нижний Новгород
Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция-
если для любых х 1
и х 2
,
таких, что х 1
<
х 2
, выполняется неравенство f(
х 1
)
Убывающая функция- если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 )
Способы задания функции
¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .
Свойства функции y=kx+b :
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k / x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k / x - нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола .
5)Функция y=x 2
Свойства функции y=x 2:
2. y=x 2 - четная функция
3. На промежутке функция убывает
Графиком функции является парабола .
6)Функция y=x 3
Свойства функции y=x 3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x 3 - нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x -2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x -2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y= Ö х
Свойства функции y= Ö х :
1. Область определения - луч }