Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:
Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:
- Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
- 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g (x ) ≥ 0.
- Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?
Решение иррационального уравнения
Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:
2x
2 − 14x
+ 13 = (5 − x
) 2
2x
2 − 14x
+ 13 = 25 − 10x
+ x
2
x
2 − 4x
− 12 = 0
Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:
D
= b
2 − 4ac
= (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x
1 = 6; x
2 = −2
Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.
Как упростить решение
Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.
Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g (x ) = 5 − x , которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:
g (x ) ≥ 0
Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:
g
(x
1) = g
(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g
(x
2) = g
(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Из полученных значений следует, что корень x 1 = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x 2 = −2 нам вполне подходит, потому что:
- Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
- Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x 2 = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.
Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.
Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
Пример 1. Решить уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x 1 = -2 - истинно:
При x 2 = -2- истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Пример 2.
Решить уравнение
.
Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.
Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:
ОДЗ данного уранения: x.
Ответ: корней нет.
Пример 3.
Решить уравнение
=+ 2.
Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Произведя проверку устанавливаем, что x 2 =0 лишний корень.
Ответ: x 1 =1.
Пример 4. Решить уравнение x =.
В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:
Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:
x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.
Пример 5 . Решить уравнение+= 7.
Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 - 15x + 44 =0.
Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x 1 = 4, х 2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Отв. х 1 = 4, х 2 = 11.
Замечание
. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения = 12, пишут уравнение
= 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.
В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.
Пример 6 . Решить уравнение-= 3.
Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению
4x - 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), или
7x 2 - 13x - 2 = 0.
Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x 1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x 2 =- не удовлетворяет.
Ответ: x = 2.
Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.
При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).
Решение иррациональных уравнений.
В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.
Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.
Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений , которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.
(1)
(2)
В первом уравнении
мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:
При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.
Пример 1
. Решим уравнение 
Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:
Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: {0;1;2}
Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:
Title="g(x)>=0"> - это условие существования корней .
Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:
(3)
Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо уравнения:
Title="f(x)>=0"> (4)
Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }">
Пример 2 . Решим уравнение:
.
Перейдем к равносильной системе:
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }">
Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.
Неравеству title="1-x>=0">удовлетворяет только корень
Ответ: x=1
Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.
Пример 3 . Решим уравнение:
Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.
Воозведем обе части уравнения в квадрат:
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Иррациональными называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня. Таковы, например, уравнения
Во многих случаях, применяя однократно или многократно возведение в степень обеих частей уравнения, удается свести иррациональное уравнение к алгебраическому уравнению той или иной степени (являющемуся следствием исходного уравнения). Так как при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние решения, то, решив алгебраическое уравнение, к которому мы привели данное иррациональное уравнение, следует найденные корни проверить подстановкой в исходное уравнение и сохранить лишь те, которые ему удовлетворяют, а остальные - посторонние - отбросить.
При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле.
Рассмотрим некоторые типичные примеры иррациональных уравнений.
А. У равнения, содержащие неизвестную под знаком квадратного корня. Если данное уравнение содержит только один квадратный корень, под знаком которого имеется неизвестная то следует этот корень уединить, т. е. поместить в одной части уравнения, а все другие члены перенести в другую часть. После возведения в квадрат обеих частей уравнения мы уже освободимся от иррациональности и получим алгебраическое уравнение для
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Уединяем корень в левой части уравнения;
Возводим полученное равенство в квадрат:
Находим корни этого уравнения:
Проверка показывает, что лишь удовлетворяет исходному уравнению.
Если в уравнение входит два и более корня, содержащих х, то возведение в квадрат приходится повторять несколько раз.
Пример 2. Решить следующие уравнения:
Решение, а) Возводим обе части уравнения в квадрат:
Уединяем корень:
Полученное уравнение снова возводим в квадрат:
После преобразований получаем для следующее квадратное уравнение:
решаем его:
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся в том, что есть его корень, а является для него посторонним корнем.
б) Пример можно решить тем же методом, каким был решен пример а). Однако, воспользовавшись тем, что правая часть данного уравнения не содержит неизвестной величины, поступим иначе. Умножим уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью; получим
Справа стоит произведение суммы на разность, т. е. разность квадратов. Отсюда
В левой части данного уравнения стояла сумма квадратных корней; в левой части полученного теперь уравнения стоит разность тех же корней. Запишем данное и полученное уравнения:
Взяв сумму этих уравнений, получаем
Возведем в квадрат последнее уравнение и после упрощений получим
Отсюда находим . Проверкой убеждаемся в том, что корнем данного уравнения служит только число . Пример 3. Решить уравнение
Здесь уже под знаком радикала мы имеем квадратные трехчлены.
Решение. Умножаем уравнение на выражение, сопряженное с его левой частью:
Вычтем последнее уравнение из данного:
Возводим это уравнение в квадрат:
Из последнего уравнения находим . Проверкой убеждаемся, что корнем данного уравнения служит только число х = 1.
Б. У равнения, содержащие корни третьей степени. Системы иррациональных уравнений. Ограничимся отдельными примерами таких уравнений и систем.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Покажем два способа решения уравнения (70.1). Первый способ. Возведем обе части данного уравнения в куб (см. формулу (20.8)):
(здесь мы заменили сумму кубических корней числом 4, пользуясь уравнением ).
Итак, имеем
т. е., после упрощений,
откуда Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Второй способ. Положим
Уравнение (70.1) запишется в виде . Кроме того, видно что . От уравнения (70.1) мы перешли к системе
Разделив первое уравнение системы почленно на второе, найдем
