Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .
Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.
Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.
Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1
Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.
Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.
Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .
![](https://i0.wp.com/function-x.ru/image/extrdemo1.jpg)
Пример 1. Рассмотрим функцию .
В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.
Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.
Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :
- Найти производную функции.
- Приравнять производную нулю и определить критические точки.
- Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
- Вычислить значение функции в точках экстремума.
![](https://i0.wp.com/function-x.ru/image/extrdemo2.jpg)
Пример 2.
Найти экстремумы функции .
Решение. Найдём производную функции:
Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:
.
Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:
Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:
в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,
в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.
То есть, точка x = 3 является точкой минимума.
Найдём значение функции в точке минимума:
Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.
Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Локальный характер экстремумов функции
Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.
Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.
Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .
То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.
Ищем экстремумы функции вместе
![](https://i0.wp.com/function-x.ru/image/extr21.jpg)
Пример 3.
Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Её производная
существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками
служат лишь те, в которых ,
т.е. ,
откуда и
.
Критическими точками и
разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности:
.
Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой
точке.
Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .
Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).
![](https://i2.wp.com/function-x.ru/image/extr22.jpg)
Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.
Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .
Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная
функция чётная, так как .
Поэтому её график симметричен относительно оси Oy
и исследование можно
выполнить только для интервала .
Находим производную
и критические точки функции:
1) ;
2) ,
но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки:
и
.
Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только
точку .
Для этого найдём вторую производную
и определим её знак при :
получим .
Так как и
, то
является точкой минимума функции, при этом
.
Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:
(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим
,
т.е. если , то .
Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.
Продолжаем искать экстремумы функции вместе
Пример 8. Найти экстремумы функции .
![](https://i2.wp.com/function-x.ru/image/extr23.jpg)
Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .
Найдём первую производную функции:
Найдём критические точки функции.
>> Экстремумы
Экстремум функции
Определение экстремума
Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x ) > 0
(f " (x ) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f " (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие.
Пусть функция f
(x
) имеет
f "
(x
) в окрестности точки x
о
и вторую производную в самой точке x о
. Если f "
(x
о
) = 0, >0 ( <0), то точка x о
является точкой локального минимума (максимума) функции f
(x
). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .
На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22.
Решение. Так как f " (
Задачи на нахождения экстремума функции
Пример 3.23. a
Решение.
x
и y
y
0
≤ x
≤
> 0, а при x
>a
/4 S
" < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
кв
.
ед
).
Пример 3.24. p ≈
Решение.
p
p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.
Так как f
" (x
) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x
-2)(x
- 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f
(2) = 14 и минимум f
(3) = 13.
Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение.
Обозначим стороны площадки через x
и y
. Площадь площадки равна S = xy
. Пусть y
- это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y
= a
. Поэтому y
= a
- 2x и S = x
(a
- 2x), где
0
≤ x
≤ a
/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными).
S
" = a - 4x, a - 4x = 0
при
x = a/4,
откуда
y = a - 2
×
a/4 =a/2.
Поскольку x
= a
/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x
a
/4 S "
> 0, а при x
>a
/4 S
" < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
функции
S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв
.
ед
).
Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a
/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y
= 2x.
Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2
p
R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V =
p
R 2 Н
Þ
Н = V/
p
R 2 =16
p
/
p
R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2
p
(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S "
(R) = 2
p
(2R- 16/R 2) = 4
p
(R- 8/R 2). S
" (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.
ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ
ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ
(local maximum) Значение функции, которое больше какого-либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx= 0 является необходимым условием для достижения локального максимума y=f(x); при соблюдении этого условия достаточным условием для достижения локального максимума является d2y/dx2< 0. Локальный максимум может также быть абсолютным максимумом, если не существует значения х, при котором у больше. Однако так может быть не всегда. Рассмотрим функцию у = х3–3х.dy/dx = 0, когда х2= 1; и d2y/dx2=6х. у имеет максимум при х =– 1, но это всего лишь локальный, а не абсолютный максимум, поскольку у может стать бесконечно большой величиной при придании достаточно большого положительного значения х . См. также: рисунок к статье максимум (maximum).
Экономика. Толковый словарь. - М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .
Экономический словарь . 2000 .
Смотреть что такое "ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ" в других словарях:
локальный максимум - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN local maximum … Справочник технического переводчика
локальный максимум - lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. local maximum vok. Lokalmaximum, n rus. локальный максимум, m pranc. maximum local, m … Automatikos terminų žodynas
локальный максимум - vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. local maximum; local peak vok. lokales Maximum, n rus. локальный максимум, m pranc. maximum local, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas
Локальный максимум, локальный минимум - (local maximum, local minimum) см. Экстремум функции … Экономико-математический словарь
- (maximum) Наивысшее значение функции, которое она принимает при любом значении ее аргументов. Максимум может быть локальным или абсолютным. Например, функция у=1–х2 имеет абсолютный максимум у=1 при х=0; не существует другого значения х, которое… … Экономический словарь
- (local minimum) Значение функции, которое меньше какого либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx = 0 является необходимым условием для достижения локального минимума у=f(x); при соблюдении этого условия достаточным… … Экономический словарь
Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум точка экстремума… … Википедия
Алгоритмы локального поиска группа алгоритмов, в которых поиск ведется только на основании текущего состояния, а ранее пройденные состояния не учитываются и не запоминаются. Основной целью поиска является не нахождение оптимального пути к… … Википедия
- (global maximum) Значение функции, равное или более высокое по сравнению с ее значениями, принимаемыми при любых других значениях аргументов. Достаточное условие максимума функции от одного аргумента, состоящее в том, что ее первая производная в… … Экономический словарь
- (англ. trend направление, тенденция) направление, тенденция развития политического процесса, явления. Имеет математическое выражение. Наиболее популярным определением тренда (trend) является определение из теории Доу. Восходящим трендом… … Политология. Словарь.
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума (или минимума) функции, если в некоторой окрестности точки х0 функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, т.е. для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется условие f(x) f(x0) (или f(x) f(x0)).
Точки локального максимума или минимума объединены общим названием - точками локального экстремума функции.
Отметим, что в точках локального экстремума функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения лишь в некоторой локальной области. Возможны случаи, когда по значению уmaxуmin .
Необходимый признак существования локального экстремума функции
Теорема . Если непрерывная функция у = f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то в этой точке первая производная либо равна нулю, либо не существует, т.е. локальный экстремум имеет место в критических точках I рода.
В точках локального экстремума либо касательная параллельна оси 0х, либо имеются две касательные (см. рисунок). Отметим, что критические точки являются необходимым, но недостаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум имеет место только в критических точках I рода, но не во всех критических точках имеет место локальный экстремум.
Например: кубическая парабола у = х3, имеет критическую точка х0=0, в которой производная у/(0)=0, но критическая точка х0=0 не является точкой экстремума, а в ней имеет место точка перегиба (см. ниже).
Достаточный признак существования локального экстремума функции
Теорема . Если при переходе аргумента через критическую точку I рода слева направо первая производная у / (x)
меняет знак с “+” на “-”, то непрерывная функция у(х) в этой критической точке имеет локальный максимум;
меняет знак с “-” на “+”, то непрерывная функция у(х) имеет в этой критической точке локальный минимум
не меняет знак, то в этой критической точке нет локального экстремума, здесь имеет место точка перегиба.
Для локального максимума область возрастания функции (у/0) сменяется на область убывания функции (у/0). Для локального минимума область убывания функции (у/0) сменяется на область возрастания функции (у /0).
Пример: Исследовать функцию у = х3 + 9х2 + 15х - 9 на монотонность, экстремум и построить график функции.
Найдем критические точки I рода, определив производную (у/) и приравняв ее нулю: у/ = 3х2 + 18х + 15 =3(х2 + 6х + 5) = 0
Решим квадратный трехчлен с помощью дискриминанта:
х2 + 6х + 5 = 0 (а=1, в=6, с=5) D= , х1к = -5, х2к = -1.
2) Разобьем числовую ось критическими точками на 3 области и определим в них знаки производной (у/). По этим знакам найдем участки монотонности (возрастания и убывания) функций, а по изменению знаков определим точки локального экстремума (максимума и минимума).
Результаты исследования представим в виде таблицы, из которой можно сделать следующие выводы:
- 1. На интервале у /(-10) 0 функция монотонно возрастает (знак производной у оценивался по контрольной точке х = -10, взятой в данном интервале);
- 2. На интервале (-5 ; -1) у /(-2) 0 функция монотонно убывает (знак производной у оценивался по контрольной точке х = -2, взятой в данном интервале);
- 3. На интервале у /(0) 0 функция монотонно возрастает (знак производной у оценивался по контрольной точке х = 0, взятой в данном интервале);
- 4. При переходе через критическую точку х1к= -5 производная меняет знак с "+" на "-" , следовательно эта точка является точкой локального максимума
- (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
- 5. При переходе через критическую точку х2к= -1 производная меняет знак с "-" на "+" , следовательно эта точка является точкой локального минимума
- (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).
х -5 (-5 ; -1) -1
3) Построение графика выполним по результатам исследования с привлечением дополнительных расчетов значений функции в контрольных точках:
строим прямоугольную систему координат Оху;
показываем по координатам точки максимума (-5; 16) и минимума (-1;-16);
для уточнения графика рассчитываем значение функции в контрольных точках, выбирая их слева и справа от точек максимума и минимума и внутри среднего интервала, например: у(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6)-9=9; у(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;
у(0)= -9 (-6;9); (-3;0) и (0;-9) - расчетные контрольные точки, которые наносим для построения графика;
показываем график в виде кривой выпуклостью вверх в точке максимума и выпуклостью вниз в точке минимума и проходящей через расчетные контрольные точки.
Для функции f(x) многих переменных точка x представляет собой вектор, f’(x) − вектор первых производных(градиент) функции f(x), f ′ ′(x) − симметричную матрицу вторых частных производных(матрицу Гессе − гессиан) функции f(x).
Для функции многих переменных условия оптимальности формулируются следующим образом.
Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x * R n . Если x * − точка локального экстремума, то f’(x *) = 0.
Как и ранее, точки, являющиеся решениями системы уравнений, называются стационарными. Характер стационарной точки x * связан со знакоопределенностью матрицы Гессе f′ ′(x).
Знакоопределенность матрицы А зависит от знаков квадратичной формы Q(α)=< α A, α > при всех ненулевых α∈R n .
Здесь и далее через
Матрица A является положительно(неотрицательно) определенной, если Q(α)>0 (Q(α)≥0) при всех ненулевых α∈R n ; отрицательно (неположительно) определенной, если Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 для некоторых ненулевых α∈R n и Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дважды дифференцируема в точке x * R n , причем f’(x *)=0 , т.е. x * − стационарная точка. Тогда, если матрица f′′(x *) является положительно (отрицательно) определенной, то x * − точка локального минимума (максимума); если матрица f′′(x *) является неопределенной, то x * − седловая точка.
Если матрица f′′(x *) является неотрицательно (неположительно) определенной, то для определения характера стационарной точки x * требуется исследование производных более высокого порядка.
Для проверки знакоопределенности матрицы, как правило, используется критерий Сильвестра. Согласно этому критерию, симметричная матрица А является положительно определенной в том и только том случае, если все ее угловые миноры положительны. При этом угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми (причем первыми) номерами. Чтобы проверить симметричную матрицу А на отрицательную определенность, надо проверить матрицу (−А) на положительную определенность.
Итак, алгоритм определения точек локальных экстремумов функции многих переменных заключается в следующем.
1. Находится f′(x).
2. Решается система
В результате вычисляются стационарные точки x i .
3. Находится f′′(x), полагается i=1.
4. Находится f′′(x i)
5. Вычисляются угловые миноры матрицы f′′(x i). Если не все угловые миноры ненулевые, то для определения характера стационарной точки x i требуется исследование производных более высокого порядка. При этом осуществляется переход к п.8.
В противном случае осуществляется переход к п.6.
6. Анализируются знаки угловых миноров f′′(x i). Если f′′(x i) является положительно определенной, то x i является точкой локального минимума. При этом осуществляется переход к п.8.
В противном случае осуществляется переход к п.7.
7. Вычисляются угловые миноры матрицы -f′′(x i) и анализируются их знаки.
Если -f′′(x i) − является положительно определенной, то f′′(x i) является отрицательно определенной и x i является точкой локального максимума.
В противном случае f′′(x i) является неопределенной и x i является седловой точкой.
8. Проверяется условие определения характера всех стационарных точек i=N.
Если оно выполняется, то вычисления завершаются.
Если условие не выполняется, то полагается i=i+1 и осуществляется переход к п.4.
Пример №1
. Определить точки локальных экстремумов функции f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2
Поскольку все угловые миноры ненулевые, то характер x 2 определяется с помощью f′′(x).
Поскольку матрица f′′(x 2) является положительно определенной, то x 2 является точкой локального минимума.
Ответ: функция f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 имеет в точке x = (5/3; 8/3) локальный минимум.